Mostre que existem infinitas parábolas que interpolam dois pontos dados (x 1, y 1),(x 2, y 2), com x 1 neq x 2.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, dados dois pontos distintos e (com ), existem infinitas parábolas que passam por esses dois pontos.
Conteúdo: interpolação polinomial de grau 2 e ideia de “graus de liberdade” em sistemas lineares.
O que vamos precisar:
  1. Escrever a forma geral de uma parábola .
  2. Impor as condições de que ela passa pelos dois pontos, gerando duas equações lineares em .
  3. Mostrar que isso deixa um parâmetro livre, logo infinitas soluções.

Passo 2

Começo escrevendo a parábola geral:
y = a x^2 + b x + c,
onde a,x1^2 + b,x1 + c = y1, a,x2^2 + b,x2 + c = y2 são constantes a determinar.
Para que ela passe por e , temos as duas condições:
Isso é um sistema de 2 equações e 3 incógnitas ( ), então a gente espera sobrarem infinitas soluções (um grau de liberdade).

Passo 3

Vamos simplificar o sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
a(x2^2 - x1^2) + b(x2 - x1) = y2 - y1
Repare que a,(x2 - x1)(x2 + x1) + b,(x2 - x1) = y2 - y1 . Logo
a,(x2 + x1) + b = y2 - y1x2 - x1
Como b = y2 - y1x2 - x1 ;-; a,(x1 + x2) , podemos dividir por ele:
Dessa equação isolamos :

Passo 4

Agora voltamos na primeira equação a,x1^2 + l[y2 - y1x2 - x1 - a(x1 + x2)r] x1 + c = y1 e substituímos c = y1 - a x1^2 - x1y2 - y1x2 - x1 + a,x1(x1 + x2) :
c = y1 - x1y2 - y1x2 - x1 + al[x1(x1+x2) - x1^2r] = y1 - x1y2 - y1x2 - x1 + a,x1x2
Daí isolamos :
Agrupando os termos com :

Passo 5

Pronto! A gente expressou y = a x^2 ;+;l(y2 - y1x2 - x1 - a(x1+x2)r)x ;+;l(y1 - x1y2 - y1x2 - x1 + a,x1x2r), e em função de . Isso significa que, para cada escolha de , temos um polinômio
que satisfaz as duas interpolations. Como pode ser qualquer número real, surgem infinitas parábolas diferentes.

Resposta

Existem infinitas parábolas passando por e porque o sistema de interpolação em tem 2 equações e 3 incógnitas, sobrando 1 parâmetro livre (a escolha de ).

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