Mostre que existem infinitas parábolas que interpolam dois pontos dados
, com x 1
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, dados dois pontos distintos
e
(com
), existem infinitas parábolas que passam por esses dois pontos.
Conteúdo: interpolação polinomial de grau 2 e ideia de “graus de liberdade” em sistemas lineares.
O que vamos precisar:
Conteúdo: interpolação polinomial de grau 2 e ideia de “graus de liberdade” em sistemas lineares.
O que vamos precisar:
- Escrever a forma geral de uma parábola
. - Impor as condições de que ela passa pelos dois pontos, gerando duas equações lineares em
. - Mostrar que isso deixa um parâmetro livre, logo infinitas soluções.
Passo 2
Começo escrevendo a parábola geral:
onde
são constantes a determinar.
Para que ela passe por e
, temos as duas condições:
Para que ela passe por
Isso é um sistema de 2 equações e 3 incógnitas (
), então a gente espera sobrarem infinitas soluções (um grau de liberdade).
Passo 3
Vamos simplificar o sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Repare que
. Logo
Como
, podemos dividir por ele:
Dessa equação isolamos
:
Passo 4
Agora voltamos na primeira equação
e substituímos
:
Daí isolamos
:
Agrupando os termos com
:
Passo 5
Pronto! A gente expressou
e
em função de
. Isso significa que, para cada escolha de
, temos um polinômio
que satisfaz as duas interpolations. Como
pode ser qualquer número real, surgem infinitas parábolas diferentes.
Resposta
Existem infinitas parábolas passando por
e
porque o sistema de interpolação em
tem 2 equações e 3 incógnitas, sobrando 1 parâmetro livre (a escolha de
).