Encontre o polinômio interpolador dos dados nos itens abaixo:
x 0,3 0,6 0,9
y=f(x) -8 -2 10

Passo 1

Beleza, vamos interpolar três pontos: , e . Isso é um exercício de “polinômio interpolador” – conteúdo de análise numérica ou métodos numéricos. Para resolver, vamos usar a fórmula de Lagrange passo a passo, sem pressa, explicando toda a teoria.

Passo 2

O que é interpolação de Lagrange?
Dado P(x)=sumi=0^2 yi;Li(x), pontos Li(x)=prodjne ix-xjxi-xj , existe um polinômio único de grau que passa por todos eles. Para três pontos ( ), o polinômio será quadrático:
onde cada base de Lagrange anula todas as outras abscissas e vale 1 em :

Passo 3

Vamos montar cada (x0,y0)=(0,3,-8), (x1,y1)=(0,6,-2), (x2,y2)=(0,9,10), . Chamando
L0(x)=(x-0,6)(x-0,9)(0,3-0,6)(0,3-0,9) =(x-0,6)(x-0,9)(-0,3)(-0,6)=(x-0,6)(x-0,9)0,18,
temos
L1(x)=(x-0,3)(x-0,9)(0,6-0,3)(0,6-0,9) =(x-0,3)(x-0,9)(0,3)(-0,3)=(x-0,3)(x-0,9)-0,09,
L2(x)=(x-0,3)(x-0,6)(0,9-0,3)(0,9-0,6) =(x-0,3)(x-0,6)(0,6)(0,3)=(x-0,3)(x-0,6)0,18

Passo 4

Agora, monta P(x)=-8,L0(x);-!2,L1(x);+10,L2(x) :
P(x)=1003x^2-10x-8
Substituindo e juntando termos (ou usando álgebra para simplificar), chega-se a:

Resposta

boxedP(x)=1003x^2-10x-8

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