Encontre o polinômio interpolador dos dados nos itens abaixo:
x 0 10 50
y=f(x) 13 37 91

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar um polinômio que passe exatamente pelos três pontos
e . Isso é interpolação polinomial – mais precisamente, vamos montar um polinômio de grau no máximo 2 que “encaixe” nesses pontos. Para fazer isso de forma direta, vou usar a Fórmula de Lagrange, que dá um jeitão de escrever esse polinômio sem ter que montar um sistema de equações.

Passo 2

Teoria rápida de Lagrange: se você tem três pontos p(x) ;=; y0,L0(x);+;y1,L1(x);+;y2,L2(x), , Li(x);=;prodsubstackj=0jneq i^2x - xjxi - xj e , o polinômio interpolador de grau ≤2 é
onde cada é a “base” de Lagrange dada por
A ideia é que (vale 1 só quando e zero caso contrário), garantindo que .

Passo 3

Vamos chamar
,
e
.
Então:
=
=
=

Passo 4

Agora monta o polinômio:
p(x)=13,L0(x)+37,L1(x)+91,L2(x)
Isso dá
p(x) =13cdot(x - 10)(x - 50)500 ;-;37cdotx,(x - 50)400 ;+;91cdotx,(x - 10)2000
Bastapra simplificar termo a termo e juntar coeficientes. Fazendo as contas (denominadores em 2000, somando tudo) chega-se em
p(x) =-211000,x^2 ;+;261100,x ;+;13

Resposta

boxed,p(x)=-211000x^2+261100x+13,

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