Encontre o polinômio interpolador dos dados nos itens abaixo:
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0 | 10 | 50 |
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13 | 37 | 91 |
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar um polinômio que passe exatamente pelos três pontos
e
. Isso é interpolação polinomial – mais precisamente, vamos montar um polinômio de grau no máximo 2 que “encaixe” nesses pontos. Para fazer isso de forma direta, vou usar a Fórmula de Lagrange, que dá um jeitão de escrever esse polinômio sem ter que montar um sistema de equações.
Passo 2
Teoria rápida de Lagrange: se você tem três pontos
,
e
, o polinômio interpolador de grau ≤2 é
onde cada
é a “base” de Lagrange dada por
A ideia é que
(vale 1 só quando
e zero caso contrário), garantindo que
.
Passo 3
Vamos chamar
,
e
.
Então:
Então:
Passo 4
Agora monta o polinômio:
Isso dá
Bastapra simplificar termo a termo e juntar coeficientes. Fazendo as contas (denominadores em 2000, somando tudo) chega-se em