Encontre o polinômio interpolador dos dados nos itens abaixo:
x 1 5 10
y=f(x) 0 8,6 14,4

Passo 1

Beleza! A gente tem 3 pontos:
e .
O conteúdo aqui é Interpolação Polinomial, mais precisamente o método de Lagrange.
Para resolver vamos usar a fórmula dos polinômios base de Lagrange e fazer umas contas de álgebra mesmo.

Passo 2

Teoria de Lagrange: se você tem 3 pontos p(x) ;=; sumi=0^2 yi,Li(x), , o polinômio interpolador de grau ≤2 é
Li(x) ;=;prodj=0,jneq i^2 x - xjxi - xj
onde
Aqui vai de 0 a 2, e cada é construído excluindo o próprio .

Passo 3

Vamos montar cada (x0,y0)=(1,0), (x1,y1)=(5,8.6), (x2,y2)=(10,14.4) . Enumera os pontos:
L0(x) =(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2) =(x-5)(x-10)(1-5)(1-10) =(x-5)(x-10)(-4)(-9) =(x-5)(x-10)36
Então:
  1. L1(x) =(x-x0)(x-x2)(5-1)(5-10) =(x-1)(x-10)4cdot(-5) =-(x-1)(x-10)20 :
L2(x) =(x-x0)(x-x1)(10-1)(10-5) =(x-1)(x-5)9cdot5 =(x-1)(x-5)45
  1. :
  1. :

Passo 4

Agora monta p(x) =0cdot L0(x) +8.6!timesl(-(x-1)(x-10)20r) +14.4!times(x-1)(x-5)45 :
p(x) =-8.620(x-1)(x-10) +14.445(x-1)(x-5)
Ou seja

Passo 5

Hora de simplificar. Primeiro note os coeficientes:
-8.620=-0.43, 14.445=0.32
Então
p(x)=-0.43,(x^2-11x+10)+0.32,(x^2-6x+5)
Multiplicando e somando:
  • Para p(x)=-0.11,x^2 +2.81,x -2.7 :
  • Para :
  • Para constante:
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Resposta

boxed,p(x) = -0.11,x^2 + 2.81,x ;-; 2.7,

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