Encontre o polinômio interpolador dos dados nos itens abaixo:
x 1 2 3 4
y=f(x) 18 11 23 6

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar o polinômio interpolador que passa pelos pontos
(1,18),;(2,11),;(3,23),;(4,6)
Isso faz parte do conteúdo de interpolação polinomial. Para resolver sem pular etapas, a gente vai usar o método de Newton com diferenças divididas. Assim, a gente monta uma tabelinha de diferenças e depois escreve o polinômio na forma de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os valores iniciais e calcular as diferenças divididas de 1ª ordem.
Definimos
f[x1,x0]=y1 - y0x1 - x0 =11 - 182-1=-7,
f[x2,x1]=23 - 113-2=12,
f[x3,x2]=6 - 234-3=-17
A diferença dividida de 1ª ordem é

Passo 3

Agora fazemos as diferenças divididas de 2ª ordem, usando os resultados acima:
f[x2,x1,x0] =f[x2,x1] - f[x1,x0]x2 - x0 =12 - (-7)3 - 1 =192=9,5,
f[x3,x2,x1] =f[x3,x2] - f[x2,x1]x3 - x1 =-17 - 124 - 2 =-292=-14,5
E, por fim, a diferença dividida de 3ª ordem:
f[x3,x2,x1,x0] =f[x3,x2,x1] - f[x2,x1,x0]x3 - x0 =-14,5 - 9,54 - 1 =-243=-8

Passo 4

Com todas as diferenças, a forma de Newton do polinômio é
P(x) = f[x0] + f[x1,x0],(x - x0) + f[x2,x1,x0],(x - x0)(x - x1) + f[x3,x2,x1,x0],(x - x0)(x - x1)(x - x2)
Substituindo os valores:
P(x) = 18 +(-7)(x-1) +9.5,(x-1)(x-2) +(-8),(x-1)(x-2)(x-3)

Passo 5

Vamos distribuir e juntar termos para chegar na forma polinomial padrão.
  1. P(x) = 18 +(-7x+7) + (9.5x^2 -28.5x+19) +(-8x^3+48x^2-88x+48)
  2. P(x) = -8x^3 + (9.5+48)x^2 +(-7 -28.5 -88)x + (18+7+19+48)
  3. P(x) = -8x^3 + 57.5x^2 -123.5x +92
Somando tudo:
Agrupando coeficientes:

Resposta

boxedP(x) = -8x^3 + tfrac1152,x^2 - tfrac2472,x + 92

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