Encontre o polinômio interpolador dos dados nos itens abaixo:
x 0 1 2 3 4
y=f(x) 0 42 86 74 72

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Encontre o polinômio interpolador dos dados
x: 0, 1, 2, 3, 4
y: 0, 42, 86, 74, 72”.
Isso é um problema de Interpolação Polinomial – mais precisamente vamos usar o método das Diferenças Finitas e a Fórmula de Newton para pontos igualmente espaçados. Para resolver, precisamos:
  1. montar as diferenças finitas até a 4ª ordem (porque são 5 pontos),
  2. aplicar a forma de Newton–Gregory (forward),
  3. eventualmente expandir para escrever o polinômio em forma “padrão” (ax⁴+bx³+…).

Passo 2

Primeiro, calculamos as diferenças finitas sucessivas. Chamamos Δy₀ = y₁–y₀, depois Δ²y₀ = Δy₁–Δy₀, etc. Aqui h = 1 (diferença entre abscissas).
y₀ = 0
y₁ = 42
y₂ = 86
y₃ = 74
y₄ = 72
Δy₀ = 42 – 0 = 42
Δy₁ = 86 – 42 = 44
Δy₂ = 74 – 86 = –12
Δy₃ = 72 – 74 = –2
Δ²y₀ = 44 – 42 = 2
Δ²y₁ = –12 – 44 = –56
Δ²y₂ = –2 – (–12) = 10
Δ³y₀ = (–56) – 2 = –58
Δ³y₁ = 10 – (–56) = 66
Δ⁴y₀ = 66 – (–58) = 124

Passo 3

Agora a Fórmula de Newton–Gregory para pontos igualmente espaçados é:
P(x) ;=; y0 ;+; De
onde P(x) = 0 ;+;42,(x) ;+;2;x(x-1)2 ;+;( -58 );x(x-1)(x-2)6 ;+;124;x(x-1)(x-2)(x-3)24 .
Substituindo nossos valores:

Passo 4

Simplificando cada termo:
  1. P(x) = 42x ;+; x(x-1) ;-;tfrac293,x(x-1)(x-2) ;+;tfrac316,x(x-1)(x-2)(x-3)
Então

Passo 5

Pra escrever no formato padrão P(x) = 31x^4 ;-;244x^3 ;+;521x^2 ;-;56x6 , expandimos tudo:
x(x-1) = x^2 – x
x(x-1)(x-2) = x^3 – 3x^2 + 2x
x(x-1)(x-2)(x-3) = x^4 – 6x^3 + 11x^2 – 6x
Substituindo e somando termos semelhantes dá, depois de bastante álgebra,

Resposta

O polinômio interpolador é
boxedP(x) ;=;31x^4 ;-;244x^3 ;+;521x^2 ;-;56x6

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