A seguir, temos as distâncias (em metros) percorridas por um veículo em cada período de tempo
(em segundos). Encontre o polinômio interpolador e a previsão para a distância percorrida em 3,5 s.
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1 | 3 | 5 |
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20 | 85 | 150 |
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um carro andou 20 m em 1 s, 85 m em 3 s e 150 m em 5 s. A tarefa é achar o polinômio interpolador (aquele que “passa” por esses 3 pontos) e usar ele para prever a distância em 3,5 s. Isso é conteúdo de interpolação polinomial, e vamos usar o método de Lagrange porque ele é direto pra montar o polinômio a partir de poucos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos montar os polinômios básicos de Lagrange para cada ponto
:
Aqui a ideia é: cada
vale 1 em
e 0 nos outros
.
Passo 3
Agora, o polinômio interpolador é
Basta substituir e simplificar:
Passo 4
Fazendo a combinação e somando os termos, dá para ver que o
some tudo e sobra um polinômio de primeiro grau:
Ou seja, a interpolação revela que os três pontos estão alinhados e o movimento é uniforme com velocidade
m/s.
Passo 5
Pra prever em
, é só calcular:
Resposta
Polinômio interpolador:
Previsão em :
m.
Previsão em