A seguir, temos as distâncias (em metros) percorridas por um veículo em cada período de tempo t (em segundos). Encontre o polinômio interpolador e a previsão para a distância percorrida em 3,5 s.
t 1 3 5
s(t) 20 85 150

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um carro andou 20 m em 1 s, 85 m em 3 s e 150 m em 5 s. A tarefa é achar o polinômio interpolador (aquele que “passa” por esses 3 pontos) e usar ele para prever a distância em 3,5 s. Isso é conteúdo de interpolação polinomial, e vamos usar o método de Lagrange porque ele é direto pra montar o polinômio a partir de poucos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos montar os polinômios básicos de Lagrange para cada ponto L0(t)=(t-3)(t-5)(1-3)(1-5), L1(t)=(t-1)(t-5)(3-1)(3-5), L2(t)=(t-1)(t-3)(5-1)(5-3) :
Aqui a ideia é: cada vale 1 em e 0 nos outros .

Passo 3

Agora, o polinômio interpolador é
P(t)=s(1),L0(t)+s(3),L1(t)+s(5),L2(t) =20,L0(t)+85,L1(t)+150,L2(t)
Basta substituir e simplificar:
L0(t)=(t-3)(t-5)8,; L1(t)=-(t-1)(t-5)4,; L2(t)=(t-1)(t-3)8

Passo 4

Fazendo a combinação e somando os termos, dá para ver que o P(t)=32,5,t-12,5 some tudo e sobra um polinômio de primeiro grau:
Ou seja, a interpolação revela que os três pontos estão alinhados e o movimento é uniforme com velocidade m/s.

Passo 5

Pra prever em P(3,5)=32,5times3,5-12,5=113,75-12,5=101,25 , é só calcular:

Resposta

Polinômio interpolador:
Previsão em : m.

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