Encontre o polinômio interpolador de Lagrange para o conjunto de pontos (
. Então, faça o um gráfico com os pontos e o polinômio interpolador encontrado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar o polinômio interpolador de Lagrange que passa pelos pontos
Isso faz parte de “Interpolação Polinomial” e, em particular, do método de Lagrange.
O que a gente precisa saber/me lembrar:
Isso faz parte de “Interpolação Polinomial” e, em particular, do método de Lagrange.
O que a gente precisa saber/me lembrar:
- A fórmula do polinômio de Lagrange
- Como construir cada função base
- Como somar esses pedaços pra obter o polinômio final
Passo 2
Teoria do Lagrange na prática:
Se temos pontos , o polinômio
de grau
é
Se temos pontos
No nosso caso
e os
são
. Vamos montar cada
.
Passo 3
Calcular cada
e multiplicar por
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então
Passo 4
Agora é só somar tudo e simplificar termo a termo (coeficientes de
).
Fazendo a conta dá
Fazendo a conta dá
Passo 5
Pra ver o gráfico rapidinho, você pode usar Python/Matplotlib assim:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# polinômio
def P(x): return -x**3 + x**2 + 6*x - 1
# eixo
xs = np.linspace(-3, 3, 400)
ys = P(xs)
# pontos dados
xp = [-2, 0, 1, 2]
yp = [-1, -1, 5, 7]
plt.plot(xs, ys, label='P(x)')
plt.scatter(xp, yp, color='red', label='pontos dados')
plt.axhline(0,color='gray',linewidth=0.5)
plt.axvline(0,color='gray',linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.show()
Resposta
O polinômio interpolador de Lagrange que passa por
é
E o gráfico acima mostra
(curva azul) junto com os pontos (em vermelho).