Encontre o polinômio interpolador de Lagrange para o conjunto de pontos ( -2,-1),(0,-1),(1,5),(2,7). Então, faça o um gráfico com os pontos e o polinômio interpolador encontrado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar o polinômio interpolador de Lagrange que passa pelos pontos

Isso faz parte de “Interpolação Polinomial” e, em particular, do método de Lagrange.
O que a gente precisa saber/me lembrar:
  • A fórmula do polinômio de Lagrange
  • Como construir cada função base
  • Como somar esses pedaços pra obter o polinômio final

Passo 2

Teoria do Lagrange na prática:
Se temos pontos P(x);=;sumi=0^n yi,Li(x), Li(x);=;prodsubstackj=0 jneq i^nx - xjxi - xj , o polinômio de grau é
No nosso caso e os são . Vamos montar cada .

Passo 3

Calcular cada L0(x)=(x-0)(x-1)(x-2)(-2-0)(-2-1)(-2-2) =x(x-1)(x-2)-24 ;;Longrightarrow;; y0,L0(x)=-1cdot L0(x)=x(x-1)(x-2)24 e multiplicar por L1(x)=(x+2)(x-1)(x-2)(0+2)(0-1)(0-2) =(x+2)(x-1)(x-2)4 ;;Longrightarrow;; y1,L1(x)=-(x+2)(x-1)(x-2)4 :
  1. Para L2(x)=(x+2)x(x-2)(1+2)(1-0)(1-2) =-(x+2)x(x-2)3 ;;Longrightarrow;; y2,L2(x)=-5,(x+2)x(x-2)3 :
L3(x)=(x+2)x(x-1)(2+2)(2-0)(2-1) =(x+2)x(x-1)8 ;;Longrightarrow;; y3,L3(x)=7,(x+2)x(x-1)8
  1. Para P(x)= x(x-1)(x-2)24 -(x+2)(x-1)(x-2)4 -5(x+2)x(x-2)3 +7(x+2)x(x-1)8 :
  1. Para :
  1. Para :
Então

Passo 4

Agora é só somar tudo e simplificar termo a termo (coeficientes de P(x) ;=; -x^3 ;+; x^2 ;+; 6x ;-;1 ).
Fazendo a conta dá

Passo 5

Pra ver o gráfico rapidinho, você pode usar Python/Matplotlib assim:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# polinômio
def P(x): return -x**3 + x**2 + 6*x - 1

# eixo
xs = np.linspace(-3, 3, 400)
ys = P(xs)

# pontos dados
xp = [-2, 0, 1, 2]
yp = [-1, -1, 5, 7]

plt.plot(xs, ys, label='P(x)')
plt.scatter(xp, yp, color='red', label='pontos dados')
plt.axhline(0,color='gray',linewidth=0.5)
plt.axvline(0,color='gray',linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.show()

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange que passa por boxedP(x) ;=; -x^3 + x^2 + 6x - 1 é
E o gráfico acima mostra (curva azul) junto com os pontos (em vermelho).

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