(2, 5 pontos) Considere o sistema linear:
5 x1+2 x2+x3 & =-12 -x1+4 x2+2 x3 & =20 2 x1-3 x2+10 x3 & =3
Resolva-o usando decomposição LU.

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos o sistema
5x1 + 2x2 + x3 = -12, -,x1 + 4x2 + 2x3 = 20, 2x1 - 3x2 +10x3 = 3
e que a gente tem que resolver usando decomposição LU.
Conteúdo: fatorar a matriz dos coeficientes em , onde
  • é triangular inferior com 1s na diagonal,
  • é triangular superior.
Depois, a gente usa duas substituições:
  1. (substituição para frente)
  2. (substituição para trás)
Não precisa conhecer nada além de eliminar Gauss “com estilo LU”. Vamos nessa!

Passo 2

Montando A = 5 & 2 & 1 -1 & 4 & 2 2 & -3 & 10 , b = -12203 e R2 & R2 - m21,R1 =(-1,4,2) -l(-tfrac15r)(5,2,1) =(0,;4.4,;2.2), R3 & R3 - m31,R1 =(2,-3,10) -tfrac25(5,2,1) =(0,;-3.8,;9.6) :
R3 R3 - m32,R2 =(0,-3.8,9.6) -l(-tfrac1922r)(0,4.4,2.2) =(0,0,11.5)
Na decomposição LU, a gente faz a mesma eliminação de Gauss, mas guarda os multiplicadores em L = 1 & 0 & 0 -tfrac15 & 1 & 0 tfrac25 & -tfrac1922 & 1 , U = 5 & 2 & 1 0 & 4.4 & 2.2 0 & 0 & 11.5 .
  1. Eliminação da coluna 1:
    • Multiplicador .
    • Multiplicador .
    Atualiza linhas 2 e 3 em :
  2. Eliminação da coluna 2 (na submatriz restante):
    • .
No final,

Passo 3

Agora a gente faz 1cdot y1 = -12, -tfrac15,y1 + 1cdot y2 = 20, tfrac25,y1 -tfrac1922,y2 + 1cdot y3 = 3 . Escrevendo as equações:
-1217.623
Resolve pra frente:

    • Então
Logo

Passo 4

Agora 5x1 + 2x2 + 1x3 = -12, 4.4x2 + 2.2x3 = 17.6, 11.5x3 = 23 , ou seja:
Resolve de trás pra frente:

Resposta

boxedx1 = -4, x2 = 3, x3 = 2

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