Encontre o polinômio interpolador utilizando a matriz de Vandermonde para o conjunto de pontos (-2,-47),(0,3),(1,4),(2,41). Então, faça um gráfico com os pontos e o polinômio interpolador encontrado.

Passo 1

Beleza, o problema pede para a gente achar o polinômio interpolador de grau 3 que passa pelos pontos
(-2)^3 & (-2)^2 & (-2)^1 & 1 0^3 & 0^2 & 0^1 & 1 1^3 & 1^2 & 1^1 & 1 2^3 & 2^2 & 2^1 & 1 abcd = -473441,
usando matriz de Vandermonde. Isso é conteúdo de Interpolação Polinomial e Sistemas Lineares: a Vandermonde é só uma forma organizada de montar um sistema
[

,
]
cuja solução é o nosso polinômio. Vamos resolver tudo passo a passo, sem pular nada.

Passo 2

Escrevendo as equações da matriz de Vandermonde:
  1. (para )
  2. (para )
  3. (para )
  4. (para )

Passo 3

Da equação (2) a gente já vê que
d = 3
Substitui isso em (3) e (4) e em (1):
(3) vira a + b + c = 1 , ou seja
4a + 2b + c = 19
(4) vira 4a - 2b + c = 25 → dividindo por 2 →
(1) vira → dividindo por

Passo 4

Agora temos o sistema em (4a-a)+(2b-b)+(c-c)=19-1;Rightarrow;3a + b =18;Rightarrow;b=18-3a :
( i ) (4a-a)+(-2b-b)+(c-c)=25-1;Rightarrow;3a -3b =24;Rightarrow;a - b =8;Rightarrow;b = a-8
(ii) 18-3a = a-8 ;Rightarrow;18 +8 =4a ;Rightarrow;4a =26 ;Rightarrow;a = tfrac264 = 6,5
(iii) b = a-8 = 6,5 - 8 = -1,5
Subtraindo (i) de (ii):
6,5 + (-1,5) + c =1 ;Rightarrow;5 + c =1 ;Rightarrow;c = -4
Subtraindo (i) de (iii):
Igualando as duas expressões de :
Então
E de :
Já tínhamos .

Passo 5

Pronto, os coeficientes são
a=tfrac132, b=-tfrac32, c=-4, d=3
Logo o polinômio interpolador é
boxedP(x) = tfrac132,x^3 ;-;tfrac32,x^2 ;-;4x ;+;3

Passo 6

Para desenhar o gráfico com os pontos e a curva de [ xlabel=$x$, ylabel=$y$, grid=both, domain=-3:3, samp<=s=100 ] addplot[blue, thick] (13/2)*x^3 - (3/2)*x^2 -4*x +3; addplot[only marks, red] coordinates (-2,-47) (0,3) (1,4) (2,41); , você pode usar, por exemplo, o pacote PGFPlots no LaTeX assim:

Resposta

O polinômio interpolador é
P(x) = 132x^3 - 32x^2 - 4x + 3,
e o gráfico acima mostra a curva passando exatamente pelos pontos dados.

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