Encontre o polinômio interpolador utilizando a matriz de Vandermonde para o conjunto de pontos . Então, faça um gráfico com os pontos e o polinômio interpolador encontrado.
Passo 1
Beleza, o problema pede para a gente achar o polinômio interpolador de grau 3 que passa pelos pontos
usando matriz de Vandermonde. Isso é conteúdo de Interpolação Polinomial e Sistemas Lineares: a Vandermonde é só uma forma organizada de montar um sistema
[
,
]
cuja solução é o nosso polinômio. Vamos resolver tudo passo a passo, sem pular nada.
Passo 2
Escrevendo as equações da matriz de Vandermonde:
(para )
(para )
(para )
(para )
Passo 3
Da equação (2) a gente já vê que
d = 3
Substitui isso em (3) e (4) e em (1):
(3) vira a + b + c = 1 , ou seja
4a + 2b + c = 19
(4) vira 4a - 2b + c = 25 → → dividindo por 2 →
(1) vira → → dividindo por →
Passo 4
Agora temos o sistema em (4a-a)+(2b-b)+(c-c)=19-1;Rightarrow;3a + b =18;Rightarrow;b=18-3a :
( i ) (4a-a)+(-2b-b)+(c-c)=25-1;Rightarrow;3a -3b =24;Rightarrow;a - b =8;Rightarrow;b = a-8
(ii) 18-3a = a-8 ;Rightarrow;18 +8 =4a ;Rightarrow;4a =26 ;Rightarrow;a = tfrac264 = 6,5
(iii) b = a-8 = 6,5 - 8 = -1,5
Subtraindo (i) de (ii):
6,5 + (-1,5) + c =1 ;Rightarrow;5 + c =1 ;Rightarrow;c = -4
Para desenhar o gráfico com os pontos e a curva de [ xlabel=$x$, ylabel=$y$, grid=both, domain=-3:3, samp<=s=100 ] addplot[blue, thick] (13/2)*x^3 - (3/2)*x^2 -4*x +3; addplot[only marks, red] coordinates (-2,-47) (0,3) (1,4) (2,41); , você pode usar, por exemplo, o pacote PGFPlots no LaTeX assim:
Resposta
O polinômio interpolador é
P(x) = 132x^3 - 32x^2 - 4x + 3,
e o gráfico acima mostra a curva passando exatamente pelos pontos dados.