Calcule :
a) Utilizando o método de Euler com ;
b) Utilizando o método de Runge-Kutta de segunda ordem com ;
c) Utilizando o método de Runge-Kutta de terceira ordem com ;
d) Utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem com ;
Passo 1
Então, o problema é o seguinte: temos a EDO
e queremos aproximar por quatro métodos numéricos:
a) Euler (passo );
b) Runge–Kutta de 2ª ordem (mesmo );
c) Runge–Kutta de 3ª ordem ();
d) Runge–Kutta de 4ª ordem ().
O que vamos precisar:
Saber que .
As fórmulas de cada método (Euler, RK2, RK3, RK4).
Executar cada iteração até e anotar o aproximado.
Passo 2
Método de Euler com . A regra é
Vamos de até :
Logo, a) .
Passo 3
Runge–Kutta de 2ª ordem (método do ponto médio) com :
Repetindo de até :
Logo, b) .
Passo 4
Runge–Kutta de 3ª ordem com k1 = f(xn,yn), k2 = fl(xn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k1r), k3 = fl(xn+h,;yn - h,k1 + 2h,k2r), yn+1 = yn + tfrac h6l(k1 + 4k2 + k3r) . Fórmulas (Butcher de 3 estágios):
Só dois passos:
Passo em k1&=f(0.25,1.3384)approx1.8529, k2&=f(0.375,1.5700)approx2.6056, k3&=f(0.5,2.1780)approx4.9929, y2&=1.3384 + tfrac0.256(1.8529+4cdot2.6056+4.9929)approx2.0579 :
Passo em :
Logo, c) .
Passo 5
Runge–Kutta de 4ª ordem com k1 = f(xn,yn), k2 = fl(xn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k1r), k3 = fl(xn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k2r), k4 = f(xn+h,;yn+h,k3), yn+1 = yn + tfrac h6l(k1+2k2+2k3+k4r) :