Dado o problema de valor inicial (PVI):
l y^prime=x^2+y^2 y(0)=1
Calcule y(0.5) :
a) Utilizando o método de Euler com h=0.1;
b) Utilizando o método de Runge-Kutta de segunda ordem com h=0.1;
c) Utilizando o método de Runge-Kutta de terceira ordem com h=0.25;
d) Utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem com h=0.25;

Passo 1

Então, o problema é o seguinte: temos a EDO
y' = x^2 + y^2, y(0)=1,
e queremos aproximar por quatro métodos numéricos:
a) Euler (passo );
b) Runge–Kutta de 2ª ordem (mesmo );
c) Runge–Kutta de 3ª ordem ( );
d) Runge–Kutta de 4ª ordem ( ).
O que vamos precisar:
  • Saber que .
  • As fórmulas de cada método (Euler, RK2, RK3, RK4).
  • Executar cada iteração até e anotar o aproximado.

Passo 2

Método de Euler com yn+1 = yn + h,f(xn,yn), xn+1=xn+h . A regra é
&y0=1, f0=f(0,1)=1^2+0^2=1, &&y1=1+0.1cdot1=1.1, &f1=f(0.1,1.1)=0.1^2+1.1^2=1.22, &&y2=1.1+0.1cdot1.22=1.222, &f2=f(0.2,1.222)=0.2^2+1.222^2approx1.5333, &&y3=1.222+0.1cdot1.5333approx1.3753, &f3=f(0.3,1.3753)=0.3^2+1.3753^2approx1.9810, &&y4=1.3753+0.1cdot1.9810approx1.5734, &f4=f(0.4,1.5734)=0.4^2+1.5734^2approx2.6356, &&y5=1.5734+0.1cdot2.6356approx1.8370
Vamos de até :
Logo, a) .

Passo 3

Runge–Kutta de 2ª ordem (método do ponto médio) com k1 = f(xn,yn), k2 = fl(xn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k1r), yn+1 = yn + h,k2 :
&k1=f(0,1)=1, k2=f(0.05,1.05)=0.05^2+1.05^2=1.105, &&y1=1+0.1cdot1.105=1.1105, &k1=f(0.1,1.1105)=1.2432,; k2=f(0.15,1.1105+0.06216=1.17266)=1.3966, &&y2=1.1105+0.1cdot1.3966=1.2502, &k1=f(0.2,1.2502)=1.6029,; k2=f(0.25,1.3303)=1.8322, &&y3=1.2502+0.1cdot1.8322=1.4334, &k1=f(0.3,1.4334)=2.1456,; k2=f(0.35,1.5407)=2.4971, &&y4=1.4334+0.1cdot2.4971=1.6831, &k1=f(0.4,1.6831)=2.9928,; k2=f(0.45,1.8327)=3.5615, &&y5=1.6831+0.1cdot3.5615=2.0392
Repetindo de até :
Logo, b) .

Passo 4

Runge–Kutta de 3ª ordem com k1 = f(xn,yn), k2 = fl(xn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k1r), k3 = fl(xn+h,;yn - h,k1 + 2h,k2r), yn+1 = yn + tfrac h6l(k1 + 4k2 + k3r) . Fórmulas (Butcher de 3 estágios):
k1&=1, k2&=f(0.125,1.125)=1.28125, k3&=f(0.25,1.390625)approx1.9969, y1&=1 + tfrac0.256(1+4cdot1.28125+1.9969)approx1.3384
Só dois passos:
Passo em k1&=f(0.25,1.3384)approx1.8529, k2&=f(0.375,1.5700)approx2.6056, k3&=f(0.5,2.1780)approx4.9929, y2&=1.3384 + tfrac0.256(1.8529+4cdot2.6056+4.9929)approx2.0579 :
Passo em :
Logo, c) .

Passo 5

Runge–Kutta de 4ª ordem com k1 = f(xn,yn), k2 = fl(xn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k1r), k3 = fl(xn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k2r), k4 = f(xn+h,;yn+h,k3), yn+1 = yn + tfrac h6l(k1+2k2+2k3+k4r) :
k1&=1, ,k2=f(0.125,1.125)=1.28125, ,k3=f(0.125,1.16016)approx1.3616, k4&=f(0.25,1.3404)approx1.8592, y1=1+0.0416667,(1+2cdot1.28125+2cdot1.3616+1.8592)approx1.3394
Dois passos:
0→0.25:
k1&=f(0.25,1.3394)approx1.8555, k2&=f(0.375,1.5713)approx2.6096, k3&=f(0.375,1.6656)approx2.9147, k4&=f(0.5,2.0681)approx4.5281, y2&=1.3394+0.0416667,(1.8555+2cdot2.6096+2cdot2.9147+4.5281)approx2.0657
0.25→0.5:
Logo, d) .

Resposta

a) 1.8370
b) 2.0392
c) 2.0579
d) 2.0657

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