Encontre um polinômio p de grau no máximo 2 que satisfaça as condições:
p(-1)=-3, p(2)=2, p(4)=5.

Passo 1

O enunciado pede um polinômio p de grau no máximo 2 tal que
p(-1)=-3, p(2)=2, p(4)=5
Isso é um caso de interpolação pelos três pontos (-1,-3), (2,2) e (4,5).
Para resolver, vamos assumir a forma geral
p(x)=ax^2+bx+c
e determinar a, b e c resolvendo um sistema de três equações lineares.

Passo 2

Substituindo cada condição em p(x)=ax^2+bx+c, obtemos o sistema
acdot(-1)^2 + bcdot(-1) + c = -3, acdot2^2 + bcdot2 + c = 2, acdot4^2 + bcdot4 + c = 5
Ou seja,
a - b + c = -3, 4a + 2b + c = 2, 16a + 4b + c = 5

Passo 3

Para eliminar c, subtraímos a primeira equação da segunda e da terceira:
(4a+2b+c) - (a - b + c) &= 2 - (-3)Longrightarrow3a+3b=5;Longrightarrow;a+b=tfrac53, (16a+4b+c) - (4a+2b+c) &= 5 - 2Longrightarrow12a+2b=3;Longrightarrow;6a+b=tfrac32

Passo 4

Agora resolvemos o sistema de duas equações em a e b:
a + b = tfrac53, 6a + b = tfrac32
Subtraindo a primeira da segunda:
(6a+b) - (a+b) = tfrac32 - tfrac53 Longrightarrow5a = tfrac32 - tfrac53 = tfrac16 Longrightarrow a = -tfrac130
Em seguida,
b = tfrac53 - a = tfrac53 + tfrac130 = tfrac5130 = tfrac1710

Passo 5

Finalmente, voltamos à primeira equação a - b + c = -3 para achar c:
-tfrac130 - tfrac1710 + c = -3 Longrightarrow c = -3 + tfrac130 + tfrac1710 = -3 + tfrac130 + tfrac5130 = -3 + tfrac5230 = -tfrac1915

Resposta

O polinômio buscado é
boxedp(x) = -130,x^2 + 1710,x - 1915

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