Para as integrais a seguir, calcule uma aproximação pelas regras do Trapézio e
de Simpson, usando quatro divisões de
. Obtenha um limitante superior para o erro cometido em cada caso. Qual o número mínimo de intervalos necessários para que a aproximação tenha precisão de 6 casas decimais?
Passo 1
O enunciado pede a aproximação de
pelas regras do Trapézio e de Simpson
usando
subintervalos, obter um limitante superior para o erro em cada caso e, por fim, determinar o número mínimo de subintervalos necessários para que o método alcance precisão de
(seis casas decimais). Vamos precisar da fórmula de cada regra e dos respectivos limites de erro, que envolvem
para Trapézio e
para Simpson.
Passo 2
Definimos
As derivadas relevantes são
Como
e
são decrescentes em
, temos
Passo 3
Com
subintervalos, o passo é
e os nós são
para
. Avaliando
:
A regra do Trapézio dá
Passo 4
A regra de Simpson
com
(par) é
Passo 5
O limitante de erro para o Trapézio é
Passo 6
O limitante de erro para Simpson é
Passo 7
Para alcançar erro
:
– Trapézio:
– Simpson:
mas Simpson exige
par, então
.
Resposta
Trapézio com
:
e
Simpson com :
e
Para obter seis casas decimais de precisão:
– Trapézio requer .
– Simpson requer .
Simpson com
Para obter seis casas decimais de precisão:
– Trapézio requer
– Simpson requer