Para as integrais a seguir, calcule uma aproximação pelas regras do Trapézio e 1 / 3 de Simpson, usando quatro divisões de a, b. Obtenha um limitante superior para o erro cometido em cada caso. Qual o número mínimo de intervalos necessários para que a aproximação tenha precisão de 6 casas decimais?
integral1^4 raizx d x

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
I=integral1^4raizx,dx
pelas regras do Trapézio e de Simpson tfrac13 usando n=4 subintervalos, obter um limitante superior para o erro em cada caso e, por fim, determinar o número mínimo de subintervalos necessários para que o método alcance precisão de 10^-6 (seis casas decimais). Vamos precisar da fórmula de cada regra e dos respectivos limites de erro, que envolvem f''(x) para Trapézio e f^(4)(x) para Simpson.

Passo 2

Definimos
f(x)=raizx=x^1/2
As derivadas relevantes são
f''(x)=-tfrac14x^-3/2, f^(4)(x)=-tfrac1516x^-7/2
Como |f''(x)|=tfrac14x^-3/2 e |f^(4)(x)|=tfrac1516x^-7/2 são decrescentes em [1,4], temos
M2=max[1,4]|f''(x)|=tfrac14, M4=max[1,4]|f^(4)(x)|=tfrac1516

Passo 3

Com n=4 subintervalos, o passo é
h=4-14=0,75
e os nós são xk=1+0,75k para k=0,1,2,3,4. Avaliando f:
f(1)=1,;f(1,75)approx1,322875,;f(2,5)approx1,581139,;f(3,25)approx1,802776,;f(4)=2
A regra do Trapézio dá
T4 = hl[tfracf(x0)+f(x4)2+sumk=1^3f(xk)r] =0,75l[tfrac1+22+1,322875+1,581139+1,802776r] approx4,655094

Passo 4

A regra de Simpson tfrac13 com n=4 (par) é
S4 =h3l[f(x0)+f(x4)+4l(f(x1)+f(x3)r)+2f(x2)r] = 0,753l[1+2+4(1,322875+1,802776)+2cdot1,581139r] approx4,666221

Passo 5

O limitante de erro para o Trapézio é
|ET|<= (b-a)^312,n^2,M2 =3^312cdot4^2cdot14 =27192cdot4 =9256approx0,035156

Passo 6

O limitante de erro para Simpson é
|ES|<= (b-a)^5180,n^4,M4 =3^5180cdot4^4cdot1516 =243cdot15180cdot256cdot16 approx0,004945

Passo 7

Para alcançar erro <=10^-6:
– Trapézio:
(b-a)^312,n^2M2<=10^-6 ;Longrightarrow; n>=raiz27/(4)12cdot10^-6 approx750
– Simpson:
(b-a)^5180,n^4M4<=10^-6 ;Longrightarrow; n>=l(243cdot(15/16)180cdot10^-6r)^1/4 approx33,55,
mas Simpson exige n par, então nmin=34.

Resposta

Trapézio com n=4: T4approx4,655094 e
|ET|<=9256approx0,035156
Simpson com n=4: S4approx4,666221 e
|ES|<=0,004945
Para obter seis casas decimais de precisão:
– Trapézio requer n>=750.
– Simpson requer n=34.

Exercícios relacionados