(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função f(x)=e^-x, expandido em torno de a=0.
(b) Usando o polinômio de Taylor para e^t, substitua t=-x para obter uma aproximação para e^-x. Compare o resultado com (a).

Passo 1

Tranquilo! Temos dois objetivos:
(a) Calcular os polinômios de Taylor de grau 1, 2, 3 e 4 para a função
f(x)=e^{-x}
em torno de a=0.
(b) Mostrar que, se você já conhece a expansão de
e^{t}=\sum_{k=0}^{n}\frac{t^k}{k!}
basta pôr t=-x para obter o mesmo resultado, e comparar com o que achamos em (a).
Conteúdo: série de Taylor, derivadas de e^{-x}, fórmula do polinômio de Taylor.

Passo 2

Antes de sair fazendo contas, lembra da fórmula geral do polinômio de Taylor em torno de a=0:
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k.
Ou seja, a gente precisa das derivadas de f(x)=e^{-x} avaliadas em x=0, até ordem 4, e depois montar cada termo.

Passo 3

Vamos achar as derivadas e seus valores em 0:
  1. f(x)=e^{-x} ⇒ f(0)=e^0=1
  2. f′(x)=−e^{-x} ⇒ f′(0)=−1
  3. f″(x)= (−1)·(−e{-x})=e{-x} ⇒ f″(0)=1
  4. f‴(x)=−e^{-x} ⇒ f‴(0)=−1
  5. f⁽⁴⁾(x)=e^{-x} ⇒ f⁽⁴⁾(0)=1
Repare que as derivadas alternam sinal e valem sempre ±e^{-x}, daí em 0 fica ±1.
Agora montamos cada polinômio:
  • Grau 1:
T_1(x)=f(0)+f'(0)x=1 + (-1)\,x = 1 - x.
  • Grau 2 (soma também o termo de segunda ordem):
T_2(x)=1 - x + \frac{f''(0)}{2!}x^2
        =1 - x + \frac{1}{2}x^2.
  • Grau 3:
T_3(x)=1 - x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3
        =1 - x + \frac12 x^2 - \frac{1}{6}x^3.
  • Grau 4:
T_4(x)=1 - x + \frac12 x^2 - \frac{1}{6}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4
        =1 - x + \frac12 x^2 - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4.

Passo 4

Agora a abordagem pelo polinômio de Taylor de e^t em torno de t=0:
e^{t} \approx 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!}.
Basta substituir t = -x:
e^{-x} \approx 1 + (-x) + \frac{(-x)^2}{2} + \frac{(-x)^3}{6} + \frac{(-x)^4}{24}
          =1 - x + \frac12 x^2 - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4.

Passo 5

Comparando os dois caminhos (direto pra e^{-x} vs. vindo de e^t com t=-x), todos os termos batem exatamente:
1 − x + x²/2 − x³/6 + x⁴/24.

Resposta

(a)
T_1(x)=1 - x,\\
T_2(x)=1 - x + \tfrac12 x^2,\\
T_3(x)=1 - x + \tfrac12 x^2 - \tfrac{1}{6}x^3,\\
T_4(x)=1 - x + \tfrac12 x^2 - \tfrac{1}{6}x^3 + \tfrac{1}{24}x^4.
(b) Substituindo t=-x na série de e^t dá exatamente a mesma sequência acima, termo a termo.

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