(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função
, expandido em torno de
.
(b) Usando o polinômio de Taylor para
, substitua
para obter uma aproximação para
. Compare o resultado com (a).
(b) Usando o polinômio de Taylor para
Passo 1
Tranquilo! Temos dois objetivos:
(a) Calcular os polinômios de Taylor de grau 1, 2, 3 e 4 para a função
(a) Calcular os polinômios de Taylor de grau 1, 2, 3 e 4 para a função
f(x)=e^{-x}
em torno de
(b) Mostrar que, se você já conhece a expansão de
a=0
.(b) Mostrar que, se você já conhece a expansão de
e^{t}=\sum_{k=0}^{n}\frac{t^k}{k!}
basta pôr
Conteúdo: série de Taylor, derivadas de
t=-x
para obter o mesmo resultado, e comparar com o que achamos em (a).Conteúdo: série de Taylor, derivadas de
e^{-x}
, fórmula do polinômio de Taylor.Passo 2
Antes de sair fazendo contas, lembra da fórmula geral do polinômio de Taylor em torno de
a=0
:T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k.
Ou seja, a gente precisa das derivadas de
f(x)=e^{-x}
avaliadas em x=0
, até ordem 4, e depois montar cada termo.Passo 3
Vamos achar as derivadas e seus valores em
0
:- f(x)=e^{-x} ⇒ f(0)=e^0=1
- f′(x)=−e^{-x} ⇒ f′(0)=−1
- f″(x)= (−1)·(−e{-x})=e{-x} ⇒ f″(0)=1
- f‴(x)=−e^{-x} ⇒ f‴(0)=−1
- f⁽⁴⁾(x)=e^{-x} ⇒ f⁽⁴⁾(0)=1
Repare que as derivadas alternam sinal e valem sempre ±e^{-x}, daí em 0 fica ±1.
Agora montamos cada polinômio:
- Grau 1:
T_1(x)=f(0)+f'(0)x=1 + (-1)\,x = 1 - x.
- Grau 2 (soma também o termo de segunda ordem):
T_2(x)=1 - x + \frac{f''(0)}{2!}x^2
=1 - x + \frac{1}{2}x^2.
- Grau 3:
T_3(x)=1 - x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3
=1 - x + \frac12 x^2 - \frac{1}{6}x^3.
- Grau 4:
T_4(x)=1 - x + \frac12 x^2 - \frac{1}{6}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4
=1 - x + \frac12 x^2 - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4.
Passo 4
Agora a abordagem pelo polinômio de Taylor de
e^t
em torno de t=0
:e^{t} \approx 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!}.
Basta substituir
t = -x
:e^{-x} \approx 1 + (-x) + \frac{(-x)^2}{2} + \frac{(-x)^3}{6} + \frac{(-x)^4}{24}
=1 - x + \frac12 x^2 - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4.
Passo 5
Comparando os dois caminhos (direto pra
1 − x + x²/2 − x³/6 + x⁴/24.
e^{-x}
vs. vindo de e^t
com t=-x
), todos os termos batem exatamente:1 − x + x²/2 − x³/6 + x⁴/24.
Resposta
(a)
T_1(x)=1 - x,\\
T_2(x)=1 - x + \tfrac12 x^2,\\
T_3(x)=1 - x + \tfrac12 x^2 - \tfrac{1}{6}x^3,\\
T_4(x)=1 - x + \tfrac12 x^2 - \tfrac{1}{6}x^3 + \tfrac{1}{24}x^4.
(b) Substituindo
t=-x
na série de e^t
dá exatamente a mesma sequência acima, termo a termo.