Uma peça metálica foi retirada do forno após um tratamento térmico e se encontra a temperatura de 100^circ C. Foi colocada em um reservatório com água à 50^circ C e, após 10 minutos, a temperatura da peça e da água passam a ser 80^circ C e 60^circ C, respectivamente. Considere que todo o calor cedido pela peça é absorvido e mantido pela água.
a) Calcule depois de quanto tempo a temperatura da peça será 75^circ C.

Passo 1

Resumo do enunciado: uma peça metálica sai do forno a 100 °C e cai num banho de água a 50 °C. Após 10 min, peça e água estão a 80 °C e 60 °C, respectivamente. Todo calor perdido pela peça vai para a água. Pergunta: depois de quanto tempo, a peça estará a 75 °C?
Conteúdo: trocas de calor (equilíbrio térmico e conservação de energia) e lei de resfriamento de Newton. Vamos precisar de:
  1. balanço de energia (calor perdido = calor ganho) para achar a razão entre as capacidades térmicas (m·c) da peça e da água;
  2. calor específico, temperatura de equilíbrio e modelo exponencial de Newton para achar a constante de tempo;
  3. usar tudo isso para determinar o instante em que Tₚ = 75 °C.

Passo 2

Balanço de energia nos primeiros 10 min:
o calor perdido pela peça
Qpeça=mp cp,(100-80) ç
é igual ao calor ganho pela água
Qágua=mw cw,(60-50) á
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mp cp,(100-80)=mw cw,(60-50) Longrightarrow mp cpmw cw=60-50100-80=1020=0,5

Passo 3

Temperatura de equilíbrio final do sistema (peça + água), pela média ponderada:
Trm eq =mp cp,100 + mw cw,50mp cp + mw cw =0,5cdot100 + 1cdot500,5 + 1 =50+501,5 =66,67 ^circC

Passo 4

Para dois corpos trocando calor sem perdas externas, a variação da temperatura da peça em relação ao equilíbrio segue
Tp(t)-Trm eq =l(Tp(0)-Trm eqr),e^-t/tau,
onde é a constante de tempo do sistema, . Não precisamos saber , vamos encontrar usando os dados de 10 min.

Passo 5

Em 80-66,67 =(100-66,67),e^-10/tau Longrightarrow 13,33 = 33,33,e^-10/tau min temos e^-10/tau=13,3333,33=0,4 Longrightarrow -,10tau=ln(0,4) Longrightarrow tau=-10ln(0,4)approx10,91 min , então

Passo 6

Agora achamos 75-66,67 = (100-66,67),e^-t/tau Longrightarrow 8,33 = 33,33,e^-t/10,91 tal que e^-t/10,91=8,3333,33=0,25 Longrightarrow -,t10,91=ln(0,25) Longrightarrow t = -,10,91ln(0,25)approx15,1 min :

Resposta

A peça levará aproximadamente 15,1 minutos para atingir 75 °C.

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