Encontre o polinômio de Taylor de terceira ordem p_{3}(x) correspondente à função f(x)=(x-1) \ln x em torno de \mathrm{a}=1.
(i) Use p_{3}(0,5) para aproximar f(0,5)
(ii) Calcule um limitante superior de | \mathrm{f}(0,5) - \mathrm{p}_{3}(0,5) \mid usando a fórmula do erro de taylore compare a cota superior do erro quando se considera o valor de \mathrm{f}(0,5) dado pela sua calculadora.
(iii) Aproxime \int_{0,5} f(x) d x usando \int_{0,5} p_{3}(x) d x
Passo 1
O enunciado pede o polinómio de Taylor de ordem 3 de
f(x) = (x-1)\ln x
em torno de a=1, e depois:
(i) usar p_{3}(0,5) para aproximar f(0,5),
(ii) obter uma cota superior para \bigl|f(0,5)-p_{3}(0,5)\bigr| pelo resto de Taylor e comparar com o erro real,
(iii) aproximar a integral
\int_{1}^{0,5} f(x)\,dx
usando
\int_{1}^{0,5} p_{3}(x)\,dx.
Para isso vamos precisar de f(1), f'(1), f''(1), f'''(1) e da fórmula do resto de Lagrange.