Encontre o polinômio de Taylor de terceira ordem p_{3}(x) correspondente à função f(x)=(x-1) \ln x em torno de \mathrm{a}=1.
(i) Use p_{3}(0,5) para aproximar f(0,5)
(ii) Calcule um limitante superior de | \mathrm{f}(0,5) - \mathrm{p}_{3}(0,5) \mid usando a fórmula do erro de taylore compare a cota superior do erro quando se considera o valor de \mathrm{f}(0,5) dado pela sua calculadora.
(iii) Aproxime \int_{0,5} f(x) d x usando \int_{0,5} p_{3}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede o polinómio de Taylor de ordem 3 de
f(x) = (x-1)\ln x
em torno de a=1, e depois:
(i) usar p_{3}(0,5) para aproximar f(0,5),
(ii) obter uma cota superior para \bigl|f(0,5)-p_{3}(0,5)\bigr| pelo resto de Taylor e comparar com o erro real,
(iii) aproximar a integral
\int_{1}^{0,5} f(x)\,dx
usando
\int_{1}^{0,5} p_{3}(x)\,dx.
Para isso vamos precisar de f(1), f'(1), f''(1), f'''(1) e da fórmula do resto de Lagrange.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f:
f(x) = x\ln x - \ln x,
f'(x) = \ln x +1 - \frac1x,
f''(x) = \frac1x + \frac1{x^{2}},
f'''(x) = -\frac1{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}},
f^{(4)}(x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{6}{x^{4}}.
Em x=1 obtemos
f(1)=0,\quad f'(1)=0,\quad f''(1)=2,\quad f'''(1)=-3.

Passo 3

O polinómio de Taylor de grau 3 centrado em 1 é
p_{3}(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^{2}+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^{3}.
Substituindo os valores:
p_{3}(x)=0 + 0\cdot(x-1) + \frac{2}{2}(x-1)^{2} + \frac{-3}{6}(x-1)^{3} = (x-1)^{2} - \tfrac12\,(x-1)^{3}.

Passo 4

(i) Para x=0,5:
p_{3}(0,5) = (0,5-1)^{2} - \tfrac12\,(0,5-1)^{3} = (-0,5)^{2} - \tfrac12(-0,5)^{3} = 0,25 + 0,0625 = 0,3125.
Logo a aproximação é f(0,5)\approx 0,3125.

Passo 5

(ii) O resto de Lagrange em módulo é
\bigl|R_{3}(0,5)\bigr| \le \max_{\xi\in[0,5,1]} \bigl|f^{(4)}(\xi)\bigr|\;\frac{\lvert0,5-1\rvert^{4}}{4!}.
Em [0,5,1] o máximo de \displaystyle f^{(4)}(x)=\frac{2}{x^{3}}+\frac{6}{x^{4}} ocorre em x=0,5, valendo
f^{(4)}(0,5)=\frac{2}{0,5^{3}}+\frac{6}{0,5^{4}} =16 +96 =112.
Como (0,5-1)^{4}=0,5^{4}=0,0625 e 4!=24,
\bigl|R_{3}(0,5)\bigr|\le 112\;\frac{0,0625}{24} = \frac{112\cdot0,0625}{24}\approx 0,2917.
O valor exato em calculadora é
f(0,5)=(0,5-1)\ln(0,5)=(-0,5)(-\ln2)=0,5\ln2\approx0,34657,
portanto o erro real é \lvert0,34657-0,3125\rvert\approx0,03407,
bem abaixo da cota 0,2917.

Passo 6

(iii) Para aproximar \displaystyle \int_{1}^{0,5}f(x)\,dx usamos \displaystyle \int_{1}^{0,5}p_{3}(x)\,dx.
Como
\int (x-1)^{2}dx=\frac{(x-1)^{3}}{3}, \quad \int (x-1)^{3}dx=\frac{(x-1)^{4}}{4},
temos
\int p_{3}(x)\,dx = \frac{(x-1)^{3}}{3} - \frac12\;\frac{(x-1)^{4}}{4} = \frac{(x-1)^{3}}{3} - \frac{(x-1)^{4}}{8}.
Avaliado de 1 a 0,5
\Bigl[\frac{(x-1)^{3}}{3}-\frac{(x-1)^{4}}{8}\Bigr]_{1}^{0,5} = \Bigl(-\tfrac{0,5^{3}}{3}-\tfrac{0,5^{4}}{8}\Bigr) = -\frac{0,125}{3}-\frac{0,0625}{8} \approx -0,041667 -0,0078125 = -0,049479.

Resposta

p_{3}(x) = (x-1)^{2} - \tfrac12,(x-1)^{3}
(i) p_{3}(0,5) =0,3125
(ii) cota \approx0,2917, erro real \approx0,0341
(iii) \displaystyle \int_{1}^{0,5}f(x)\,dx\approx -0,04948

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