Obtenha o polinômio de Taylor de segunda ordem p_{2}(x) correspondente à função definida por f(x)=e^{x} \cos x em x* =0
(i) aproxime \mathrm{f}(0,5) por \mathrm{p}_{2}(0,5)
(ii) ache uma cota superior para o erro \left|f(0,5)-p_{2}(0,5)\right| usando a fórmula do erro de Taylor
(iii) Calcule uma cota superior para o erro \left|f(0,5)-p_{2}(0,5)\right| no intervalo [0,1] usando a fórmula de erro de Taylor.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de segunda ordem de
f(x)=e^x\cos x
em torno de x^*=0, ou seja, o polinômio de Maclaurin
p_2(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2}\,x^2.
Depois, (i) avaliar p_2(0,5); (ii) usar a forma do resto de Taylor
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}x^3,\quad \xi\in(0,x),
para obter uma cota para \bigl|f(0,5)-p_2(0,5)\bigr|; e (iii) repetir essa cota supondo x\in[0,1].

Passo 2

Calculamos derivadas de f e as avaliamos em 0.
f(x)=e^x\cos x
f'(x)=\bigl(e^x\cos x\bigr)'+e^x(-\sin x)=e^x(\cos x-\sin x)
f''(x)=\bigl(e^x(\cos x-\sin x)\bigr)'=e^x(\cos x-\sin x)+e^x(-\sin x-\cos x)=-2\,e^x\sin x
f^{(3)}(x)=\bigl(-2e^x\sin x\bigr)'=-2\,e^x\sin x-2\,e^x\cos x=-2\,e^x\bigl(\sin x+\cos x\bigr).
Em x=0:
f(0)=e^0\cos0=1,\quad f'(0)=e^0(1-0)=1,\quad f''(0)=-2\,e^0\cdot0=0.
Logo
p_2(x)=1+1\cdot x+\frac{0}{2}x^2=1+x.

Passo 3

(i) Avaliando em x=0,5:
p_2(0,5)=1+0,5=1,5.

Passo 4

(ii) Para \bigl|f(0,5)-p_2(0,5)\bigr|, use
\bigl|R_2(0,5)\bigr|\le\frac{\max_{t\in[0,0,5]}|f^{(3)}(t)|}{3!}\,(0,5)^3.
Como
|f^{(3)}(t)|=2\,e^t\bigl|\sin t+\cos t\bigr|\le2\,e^t\sqrt2\le2\sqrt2\,e^{0,5},
temos
\bigl|R_2(0,5)\bigr|\le\frac{2\sqrt2\,e^{0,5}}{6}\,(0,5)^3 =\frac{2\sqrt2\,e^{0,5}\cdot0,125}{6} =\frac{0,25\sqrt2\,e^{0,5}}{6} \approx0,0972.

Passo 5

(iii) Se em vez de [0,0,5] tomarmos [0,1], então e^t\le e e
\max_{t\in[0,1]}|f^{(3)}(t)|\le2\sqrt2\,e.
Logo
\bigl|R_2(0,5)\bigr|\le\frac{2\sqrt2\,e}{6}\,(0,5)^3 =\frac{0,25\sqrt2\,e}{6} \approx0,1602.

Resposta

p_2(x)=1+x
(i) p_2(0,5)=1,5
(ii) \bigl|f(0,5)-p_2(0,5)\bigr|\le\displaystyle\frac{0,25\sqrt2\,e^{0,5}}{6}\approx0,0972
(iii) \bigl|f(0,5)-p_2(0,5)\bigr|\le\displaystyle\frac{0,25\sqrt2\,e}{6}\approx0,1602

Exercícios relacionados