A3 Avalie as expressões abaixo em um sistema de ponto flutuante com cinco dígitos significativos. Compute o erro relativo em cada operação executada e no resultado final. Identifique qual a operação contribuiu mais expressivamente para o erro final.
10000+\sum_{n=1}^{25000} 0.4;

Passo 1

O enunciado pede para computar em ponto flutuante de cinco dígitos significativos
10000 + \sum_{n=1}^{25000} 0.4
fazendo em cada soma o arredondamento para cinco dígitos significativos, e calcular o erro relativo em cada operação e no resultado final. Vamos usar o modelo de arredondamento para o-nearest com t=5 dígitos.

Passo 2

Definimos a função de arredondamento \mathrm{fl}(\cdot) que, dado um número real x, retorna o número em ponto flutuante mais próximo com t=5 dígitos significativos (e expoente ajustado). A unidade de arredondamento (machine unit) é
u = \tfrac12 \times 10^{1-t} = 0,5\times10^{-4} = 5\times10^{-5}.

Passo 3

Primeira operação: acumulador inicial x_0 = 10000.
Calculamos
a_1 = x_0 + 0.4 = 10000.4.
Em cinco dígitos significativos, isso fica
\mathrm{fl}(10000.4) = 1.0000\times10^4 = 10000.
O erro relativo nesta operação é
\delta_1 = \frac{|a_1 - \mathrm{fl}(a_1)|}{|a_1|} = \frac{|10000.4 - 10000|}{10000.4} \approx 4.0\times10^{-5}.

Passo 4

Para cada uma das 24999 somas seguintes, o acumulador vale sempre 10000, e somamos de novo 0.4:
a_k = 10000 + 0.4 = 10000.4,\quad \mathrm{fl}(a_k) = 10000,\quad k=2,\dots,25000.
O erro relativo em cada operação é o mesmo
\delta_k = \frac{0.4}{10000.4}\approx 4.0\times10^{-5}.

Passo 5

Depois de 25000 adições, o valor final em ponto flutuante é
x_{25000} = 10000.
O valor exato da soma seria
10000 + 25000\times 0.4 = 20000.
Logo o erro relativo final é
\delta_{\rm final} = \frac{|20000 - 10000|}{20000} = \frac{10000}{20000} = 0{,}5.

Passo 6

Cada operação de soma 10000 + 0.4 introduziu o mesmo erro relativo \approx4{,}0\times10^{-5}, mas o primeiro arredondamento já faz com que o acumulador permaneça em 10000, anulando todas as contribuições de 0.4. Portanto, a operação que mais contribuiu ao erro final foi a primeira adição 10000 + 0.4, que eliminou o incremento de 0.4.

Resposta

O resultado em ponto flutuante de cinco dígitos é 10000.
O erro relativo final é 0{,}5 (50 %).
A operação de soma 10000 + 0.4 (em particular a primeira) é a que mais contribuiu para o erro.

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