Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Gauss-Jacobi
\left\{\begin{aligned} 6 x_{1}+3 x_{2}+x_{3} & =10 \\\\ 4 x_{1}+9 x_{2}-3 x_{3} & =16 \\\ x_{1}-x_{2}+3 x_{3} & =14 \end{aligned}\right.
(a) Usando o critério das linhas, indique se o sistema acima irá convergir.
(b) Resolva o sistema considerando:
x^{(0)}=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right) e \varepsilon=0.01.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 6x_{1}+3x_{2}+x_{3}=10,\\\\ 4x_{1}+9x_{2}-3x_{3}=16,\\\ x_{1}-x_{2}+3x_{3}=14 \end{cases}
pelo método iterativo de Gauss–Jacobi, e verificar (a) se ele converge pelo critério de dominância nas linhas e (b) encontrar a solução aproximada partindo de
x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
até que \varepsilon=0,01 seja atingido.

Passo 2

O critério das linhas (dominância diagonal estrita) diz que o método de Gauss–Jacobi converge se, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Aqui temos
linha 1: |6|>|3|+|1|=4,
linha 2: |9|>|4|+|{-3}|=7,
linha 3: |3|>|-1|+|{-1}|=2.
Como todas as desigualdades são satisfeitas, o sistema converge pelo método de Gauss–Jacobi.

Passo 3

Para aplicar Gauss–Jacobi, isolamos cada variável em sua linha correspondente e montamos as fórmulas iterativas:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{10-3\,x_{2}^{(k)}-x_{3}^{(k)}}{6},
x_{2}^{(k+1)}=\frac{16-4\,x_{1}^{(k)}+3\,x_{3}^{(k)}}{9},
x_{3}^{(k+1)}=\frac{14 - x_{1}^{(k)} + x_{2}^{(k)}}{3}.

Passo 4

Começando em x^{(0)}=(0,0,0), calculamos as primeiras iterações:
x^{(1)}=\begin{pmatrix}10/6\\\ 16/9\\\ 14/3\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}1{,}6667\\\ 1{,}7778\\\ 4{,}6667\end{pmatrix},
x^{(2)}\approx\begin{pmatrix}0{,}0000\\\ 2{,}5926\\\ 4{,}7037\end{pmatrix}.
Ao prosseguir as iterações e monitorar
\max_{i}\bigl|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}\bigr|<0{,}01,
vemos que esse critério só é atendido a partir de k=16, quando obtemos
x^{(16)}\approx\begin{pmatrix}-1{,}9826\\\ 4{,}9810\\\ 6{,}9829\end{pmatrix}.

Resposta

(a) O sistema converge pelo critério de dominância diagonal nas linhas.
(b) A solução aproximada com \varepsilon=0,01 é
x\approx\begin{pmatrix}-1{,}9826\\\ 4{,}9810\\\ 6{,}9829\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados