Questão 3. Sejam a, b, c ed números reais positivos e diferentes de 1. Sabendo que
são termos consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
são números reais positivos e diferentes de . - As quantidades
são termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA).
O que se pede: - Demonstrar que
.
Observações iniciais necessárias para evitar casos degenerados:
- Para que
estejam bem definidas, precisa-se de . - Se
(isto é, ) o caso fica degenerado: as três razões seriam todas zero e a PA seria trivial, mas a consequência buscada não seria garantida para quaisquer . Portanto, para fazer a demonstração algebraicamente sem perder validade, assumiremos que e , de modo que .
Passo 2
Escrever a condição de termos consecutivos numa PA. Se
são três termos consecutivos de uma PA, então o termo do meio é a média aritmética dos extremos. Aplicando isso às quantidades do enunciado:
Passo 3
Usar a fórmula de mudança de base para escrever todos os logaritmos na mesma base (escolho a base
). Lembrete da fórmula de mudança de base: para bases positivas distintas de
e para
,
Aplicando para
e
:
Passo 4
Substituir essas expressões na igualdade da PA do Passo 2. Temos:
Como assumimos
, podemos dividir a equação por
sem perder informação. Ficamos com:
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se a forma mais conveniente:
Passo 5
Para simplificar a escrita, defina
Assim a igualdade do Passo 4 fica
Agora resolvemos essa equação em
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Multiplicando por
:
ou reorganizando,
Passo 6
Reescrever a igualdade obtida em termos de logaritmos (voltando de
para
). Substituindo
e
na equação
dá
Agora use propriedades dos logaritmos para interpretar cada membro:
- Pela propriedade de potência,
. - Pela propriedade do produto,
. - Pela propriedade
, tem-se
Portanto a igualdade anterior é equivalente a
Passo 7
Concluir a prova usando injetividade do logaritmo na base
. Como
,
, a função
é injetiva em
. Da igualdade dos logaritmos segue a igualdade dos argumentos:
Assim a identidade pedida está demonstrada (sob a hipótese não degenerada
).