Questão 3. Sejam a, b, c ed números reais positivos e diferentes de 1. Sabendo que \log _{a} d, \log _{b} d, \log _{c} d são termos consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre que c^{2}=(a c)^{\log _{a} b}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • a,b,c são números reais positivos e diferentes de 1.
  • As quantidades \log_{a} d,\\ \log_{b} d,\\ \log_{c} d são termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA).
    O que se pede:
  • Demonstrar que \,c^{2}=(a c)^{\log_{a} b}.
Observações iniciais necessárias para evitar casos degenerados:
  • Para que \log_{a} d,\\ \log_{b} d,\\ \log_{c} d estejam bem definidas, precisa-se de d>0.
  • Se \log_{a} d=0 (isto é, d=1) o caso fica degenerado: as três razões seriam todas zero e a PA seria trivial, mas a consequência buscada não seria garantida para quaisquer a,b,c. Portanto, para fazer a demonstração algebraicamente sem perder validade, assumiremos que d>0 e d\neq1, de modo que \log_{a} d\neq0.

Passo 2

Escrever a condição de termos consecutivos numa PA. Se x_1,x_2,x_3 são três termos consecutivos de uma PA, então o termo do meio é a média aritmética dos extremos. Aplicando isso às quantidades do enunciado:
\log_{b} d=\frac{\log_{a} d+\log_{c} d}{2}.

Passo 3

Usar a fórmula de mudança de base para escrever todos os logaritmos na mesma base (escolho a base a). Lembrete da fórmula de mudança de base: para bases positivas distintas de 1 e para d>0,
\log_{p} d=\frac{\log_{a} d}{\log_{a} p}.
Aplicando para p=b e p=c:
\log_{b} d=\frac{\log_{a} d}{\log_{a} b}, \qquad \log_{c} d=\frac{\log_{a} d}{\log_{a} c}.

Passo 4

Substituir essas expressões na igualdade da PA do Passo 2. Temos:
\frac{\log_{a} d}{\log_{a} b}=\frac{1}{2}\!\left(\log_{a} d+\frac{\log_{a} d}{\log_{a} c}\right).
Como assumimos \log_{a} d\neq0, podemos dividir a equação por \log_{a} d sem perder informação. Ficamos com:
\frac{1}{\log_{a} b}=\frac{1}{2}\!\left(1+\frac{1}{\log_{a} c}\right).
Multiplicando ambos os lados por 2 obtém-se a forma mais conveniente:
\frac{2}{\log_{a} b}=1+\frac{1}{\log_{a} c}.

Passo 5

Para simplificar a escrita, defina
x=\log_{a} b,\qquad y=\log_{a} c.
Assim a igualdade do Passo 4 fica
\frac{2}{x}=1+\frac{1}{y}.
Agora resolvemos essa equação em x,y. Multiplicando ambos os lados por x obtemos
2=x\left(1+\frac{1}{y}\right)=x+\frac{x}{y}.
Multiplicando por y:
2y=xy+x,
ou reorganizando,
2y=x(y+1).

Passo 6

Reescrever a igualdade obtida em termos de logaritmos (voltando de x,y para \log_{a} b,\log_{a} c). Substituindo x=\log_{a} b e y=\log_{a} c na equação 2y=x(y+1)
2\log_{a} c=\log_{a} b\bigl(1+\log_{a} c\bigr).
Agora use propriedades dos logaritmos para interpretar cada membro:
  • Pela propriedade de potência, \log_{a}\bigl(c^{2}\bigr)=2\log_{a} c.
  • Pela propriedade do produto, \log_{a}(a c)=\log_{a} a+\log_{a} c=1+\log_{a} c.
  • Pela propriedade \log_{a}(u^{v})=v\log_{a} u, tem-se
\log_{a}\bigl((a c)^{\log_{a} b}\bigr)=\log_{a} b\cdot\log_{a}(a c)=\log_{a} b\bigl(1+\log_{a} c\bigr).
Portanto a igualdade anterior é equivalente a
\log_{a}\bigl(c^{2}\bigr)=\log_{a}\bigl((a c)^{\log_{a} b}\bigr).

Passo 7

Concluir a prova usando injetividade do logaritmo na base a. Como a>0, a\neq1, a função x\mapsto\log_{a} x é injetiva em (0,\infty). Da igualdade dos logaritmos segue a igualdade dos argumentos:
c^{2}=(a c)^{\log_{a} b}.
Assim a identidade pedida está demonstrada (sob a hipótese não degenerada d\neq1).

Resposta

c^{2}=(a c)^{\log_{a} b}

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