Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Isso é assunto de Séries de Potências em Cálculo, e o que vamos usar é principalmente o teste da raiz (ou de Cauchy) pra achar o raio, e depois testar os pontos dos extremos pra ver se a série converge ou diverge lá.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o “termo geral” da nossa série de potências. Se a série é
aqui temos
ou seja, nosso termo em valor absoluto é
Passo 3
Agora, o teste da raiz diz que a série converge se
L = limntoinfty raiz[n]|an (x-4)^n| < 1,
e diverge se raiz[n]|an (x-4)^n| = raiz[n]l|2(x-4)r|^nraizn+4 = l|2(x-4)r|(n+4)^1/(2n) . Vamos calcular