Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=0^infty 2^n(x-4)^nraizn+4

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty 2^n(x-4)^nraizn+4
Isso é assunto de Séries de Potências em Cálculo, e o que vamos usar é principalmente o teste da raiz (ou de Cauchy) pra achar o raio, e depois testar os pontos dos extremos pra ver se a série converge ou diverge lá.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o “termo geral” da nossa série de potências. Se a série é
sumn=0^infty an (x-4)^n,
aqui temos
an = 2^nraizn+4,
ou seja, nosso termo em valor absoluto é
|an (x-4)^n| = |2^n (x-4)^n|raizn+4 = l|2(x-4)r|^nraizn+4

Passo 3

Agora, o teste da raiz diz que a série converge se
L = limntoinfty raiz[n]|an (x-4)^n| < 1,
e diverge se raiz[n]|an (x-4)^n| = raiz[n]l|2(x-4)r|^nraizn+4 = l|2(x-4)r|(n+4)^1/(2n) . Vamos calcular
L = l|2(x-4)r|
Como quando , fica

Passo 4

Exigindo |2(x-4)| < 1 Longrightarrow |x-4| < 12 , temos
R = 12
Isso mostra que o raio de convergência é

Passo 5

Agora resta testar os extremos x-4 = tfrac12 ;Rightarrow; 2^n (x-4)^nraizn+4 = (2cdottfrac12)^nraizn+4 = 1^nraizn+4 = 1raizn+4 .
  1. Para x-4 = -tfrac12 ;Rightarrow; 2^n (x-4)^nraizn+4 = (2cdot(-tfrac12))^nraizn+4 = (-1)^nraizn+4 :
A série fica , que é tipo . Como é uma série p com , diverge.
  1. Para :
É uma série alternada com termo geral em valor absoluto que vai a zero e é decrescente. Pelo teste de Leibniz (séries alternadas), ela converge.

Resposta

Raio de convergência:
R = tfrac12
Intervalo de convergência:
[,4 - tfrac12,;4 + tfrac12);=;[3,5,;4,5)

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