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Justifique suas respostas. Boa Prova!
Obs: Utilize quatro casas decimais nas contas quando precisar.
4)(2,5 pontos) Considere o problema de resolver a equação x^2+1=0 pelo método de Newton. Determine o valor de x0 que faz com que a sequência gerada pelo método oscile indefinidamente entre x0 e-x0.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado manda usar o método de Newton pra resolver
x^2+1=0
e achar o que faz a sequência “pular” pra , depois volta pra , e assim indefinidamente.
Conteúdo: método de Newton (iteração ).
Vamos precisar derivar , montar a fórmula de iteração e exigir .

Passo 2

Primeiro, lembra do método de Newton:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
Aqui f'(x)=2x, então

Passo 3

Substituindo em Newton:
xn+1=xn-xn^2+12xn =2xn^2-(xn^2+1)2xn =xn^2-12xn
Resumindo:
xn+1=xn^2-12,xn

Passo 4

Queremos que a sequência vá de x1 = x0^2-12x0 = -,x0 para x0^2-12x0 = -x0 Longrightarrow x0^2 - 1 = -2x0^2 Longrightarrow 3x0^2 = 1 Longrightarrow x0^2 = 13 no passo 1. Ou seja:
Agora é só resolver essa equação:

Passo 5

Tirando raiz:
x0 = pm 1raiz3 approx pm 0,5774

Resposta

O valor de boxedx0 = pm 1raiz3 approx pm 0,5774 que faz a sequência oscilar indefinidamente entre e é

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