Universidade Federal de Itajubá Instituto de Matemática e Computação Primeira Prova MAT00N e MAT012 Cálculo Numérico (16/01/2025) Nota:
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Justifique suas respostas. Boa Prova!
Obs: Utilize quatro casas decimais nas contas quando precisar.
(2,0 pts) Determine se a série sumn=1^infty n!n^n a1 a2 ldots an é absolutamente convergente.

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra gente testar se a série
sumn=1^infty n!n^n,a1a2cdots an
é absolutamente convergente. Isso é parte de “convergência de séries numéricas” e a ferramenta principal aqui vai ser o teste da raiz (e uma pitada de aproximação de Stirling para o fatorial).

Passo 2

Primeiro, note que a série de módulos é
sumn=1^infty |n!n^n,a1a2cdots an| =sumn=1^inftyn!n^n,|a1a2cdots an|
Aí a ideia do teste da raiz é olhar
L=limsupntoinftyraiz[n]n!n^n,|a1cdots an|
Se , converge absolutamente; se , diverge; se , o teste não decide.

Passo 3

Vamos calcular essa raiz-n:
raiz[n]n!n^n,|a1cdots an| =raiz[n]n!n;raiz[n]|a1a2cdots an|
Para n!approxraiz2pi n,l(tfracner)^n Longrightarrow raiz[n]n!;xrightarrow[ntoinfty];ne a gente lembra da aproximação de Stirling:

Passo 4

Substituindo esse limite na expressão da raiz:
limntoinftyraiz[n]n!n^n,|a1cdots an| =limntoinftytfracnen,raiz[n]|a1cdots an| =1e,1 liminfntoinftyraiz[n]|a1a2cdots an|
Chamando
A=liminfntoinftyl|a1a2cdots anr|^1/n,
ficamos com
L=1e,A

Passo 5

Pelo teste da raiz:
  • Se , ou seja , então a série converge absolutamente.
  • Se , ou seja , então diverge.
  • Se ( ), o teste é inconclusivo.

Resposta

A série liminfntoinftyl|a1a2cdots anr|^1/n > 1e é absolutamente convergente se, e somente se,

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