Seja ann=1^infty uma sequência de números positivos que converge para 12.
Determine se a série sumn=1^infty n!n^n a1 a2 ldots an é absolutamente convergente.

Passo 1

O enunciado diz que sumn=1^infty n!n^n,a1a2cdots an é uma sequência positiva que converge para , e pede para a gente decidir se a série
é absolutamente convergente.
Conteúdo que vamos usar: teste da razão para séries numéricas.

Passo 2

Vamos chamar o termo geral da série de
un = n!n^n,a1a2cdots an
O teste da razão diz que olhamos
L = limntoinfty un+1un
Se , a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculemos o quociente:
un+1un = ,(n+1)!/[(n+1)^n+1 a1cdots an+1],,n!/[n^n a1cdots an], = (n+1)!;n^n;a1cdots ann!;(n+1)^n+1;a1cdots an+1 = n^n(n+1)^n,1an+1
Note que
n^n(n+1)^n = l(nn+1r)^n = l(1 - 1n+1r)^n ;xrightarrow[ntoinfty]; e^-1,
e como L = limntoinftyun+1un = e^-1,1tfrac12 = 2e , então

Passo 4

Como (lembre que ), o teste da razão garante que a série converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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