Encontre uma raiz aproximada com erro de 10^-3 para funções abaixo, pelo método de Newton-Rapson, se possível: P(x)=x-2 sen(x) em [-2,-1]

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente achar uma raiz de

no intervalo P(x)=x-2sen(x) com precisão de xn+1=xn-P(xn)P'(xn), usando o método de Newton–Raphson.
Conteúdo: método de Newton (iterações, derivada) e trigonometria (seno, cosseno).
O que vamos precisar:
- A fórmula de Newton:

- Calcular .
- Escolher um chute inicial em e iterar até .

Passo 2

Primeiro, vamos montar as funções:

P'(x)=1-2cos(x)
Isso vem de derivar (que dá 1) e derivar (que dá ).
Agora, confere se não zera em (se zerar, Newton dá problema).
Em , varia entre e , então
fica sempre diferente de zero (entre e ), tranquilo.

Passo 3

Agora, escolhemos x1 = x0 - P(x0)P'(x0) = -2 - -0.18141.8322 approx -1.90095 . A gente pode usar , que está no intervalo e .
Calcula:


Aplicando Newton:

Passo 4

Iteração 2:

x2 = x1 - P(x1)P'(x1) approx -1.90095 - -0.008351.6466 approx -1.89588

Passo 5

Iteração 3:

x3 = x2 - P(x2)P'(x2) approx -1.89588 - 0.000621.6326 approx -1.89626
Diferença , então paramos.

Resposta

Uma aproximação da raiz em boxedxapprox -1.8963 pelo método de Newton–Raphson, com erro menor que , é

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