Encontre uma raiz aproximada com erro de 10^-3 para funções abaixo, pelo método de Newton-Rapson, se possível: G(x)=x^3-3 x+3 em [-3,-2]

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente usar o método de Newton–Raphson pra encontrar uma raiz da função
G(x)=x^3-3x+3
no intervalo xn+1=xn-f(xn)f'(xn), com precisão de .
Conteúdo: métodos numéricos (Newton–Raphson), derivada e Teorema do Valor Intermediário.
O que vamos precisar:
  1. A função e sua derivada .
  2. A fórmula de Newton:
  3. Critério de parada .

Passo 2

Definimos
f(x)=x^3-3x+3, f'(x)=3x^2-3
Antes de iterar, aplicamos o Teorema do Valor Intermediário:
f(-3)=(-3)^3-3(-3)+3=-27+9+3=-15, f(-2)=(-2)^3-3(-2)+3=-8+6+3=1
Como e é contínua, existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Usamos Newton–Raphson com a fórmula
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
Condição de parada:
lvert xn+1-xnrvert<10^-3

Passo 4

Escolhemos de boas um chute inicial no meio do intervalo:
x0=-2.5

Passo 5

Agora vamos iterar até f(x0)=(-2.5)^3-3(-2.5)+3=-5.125, f'(x0)=3(2.5^2)-3=15.75, :
Iteração 1:
x1 = -2.5 - -5.12515.75approx -2.1746, De10^-3
f(x1)approx(-2.1746)^3-3(-2.1746)+3approx-0.7627, f'(x1)approx3(2.1746^2)-3approx11.1843,
Iteração 2:
x2 = x1 - f(x1)f'(x1)approx -2.1064, De10^-3
f(x2)approx(-2.1064)^3-3(-2.1064)+3approx-0.029, f'(x2)approx10.3167,
Iteração 3:
x3 = x2 - f(x2)f'(x2)approx -2.1036, De10^-3
f(x3)approx(-2.1036)^3-3(-2.1036)+3approx-0.0007, f'(x3)approx10.2792,
Iteração 4:
x4 = x3 - f(x3)f'(x3)approx -2.1035, De
Parou aí, obteve-se a precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada pelo método de Newton–Raphson, com erro menor que boxedxapprox -2.1035 , é

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