Encontre uma raiz aproximada com erro de 10^-3 para funções abaixo, pelo método de Newton-Rapson, se possível: H(x)=cos (x)-e^x em [-2,-1]

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar uma raiz aproximada de
H(x) = cos(x) - e^x
no intervalo xn+1 = xn - H(xn)H'(xn) , usando o método de Newton–Raphson, com erro até .
Conteúdo: é cálculo numérico, mais especificamente iteração de Newton.
O que precisamos:
  1. A função .
  2. A derivada .
  3. A fórmula de iteração de Newton:
  1. Um chute inicial dentro de .

Passo 2

Primeiro, calcula a derivada:
H'(x) = -sin(x) - e^x
Aí a ideia do Newton é: a cada passo você pega o ponto atual xn+1 = xn - H(xn)H'(xn) , avalia x0 = -2 + (-1)2 = -1.5 e e faz
Isso “puxa” o chute em direção à raiz. Pra começar, escolhemos o ponto médio do intervalo:

Passo 3

Agora, vamos iterar até que H(-1.5) = cos(-1.5) - e^-1.5 approx 0,0707 - 0,2231 = -0,1524, :
  1. Iteração 1 (de H'(-1.5) = -sin(-1.5) - e^-1.5 approx 0,9975 - 0,2231 = 0,7744 para x1 = -1.5 - -0,15240,7744 approx -1.5 + 0,1969 = -1.3031 ):
    H(-1.3031) approx cos(-1.3031) - e^-1.3031 = 0,2652 - 0,2714 = -0,0062,
    H'(-1.3031) approx -sin(-1.3031) - e^-1.3031 = 0,9639 - 0,2714 = 0,6925
    Então
    x2 = -1.3031 - -0,00620,6925 approx -1.3031 + 0,00894 = -1.2942
    Diferença: H(-1.2942) approx 0,2745 - 0,2738 = 0,0007, , ainda acima de H'(-1.2942) approx 0,9616 - 0,2738 = 0,6878, .
  2. Iteração 2 (de x3 = -1.2942 - 0,00070,6878 approx -1.2942 - 0,00102 = -1.2952 para ):
    Diferença: , ainda > .
  3. Iteração 3 (de para ):
    Diferença: , que é praticamente . Já satisfaz nosso critério de erro.

Resposta

Uma raiz aproximada de boxedx approx -1,2952 em pelo método de Newton, com precisão , é

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