Mostre que a função de iteração no método da secante é dada por:
X(k+1)=X(k-1) cdot f(X k)-X k cdot f(X(k-1))f(X k)-f(X(k-1))
Dica: substituir a derivada f
f^prime(X k) approx f(X k)-f(X(k-1))X k-X(k-1)

Passo 1

Beleza, a ideia é mostrar como sai a fórmula do método da secante
Conteúdo: métodos numéricos (busca de raízes), Newton e aproximação de derivada
O que vamos usar:
  1. Fórmula de Newton:
Xk+1=Xk-f(Xk)f'(Xk)
2) Aproximação da derivada por diferença finita (secante):
f'(Xk)approxf(Xk)-f(Xk-1)Xk-Xk-1

Passo 2

Primeiro, lembra o Newton: a gente faz uma reta tangente em (Xk,f(Xk)) e vai pro zero dessa reta. Isso dá:
Xk+1=Xk-f(Xk)f'(Xk)
Aqui f'(Xk) é a derivada em Xk, ou seja, a inclinação da função naquele ponto.

Passo 3

No método da secante a gente não quer calcular a derivada exata (às vezes é difícil). Em vez disso, aproximamos essa inclinação pela reta que passa por (Xk-1,f(Xk-1)) e (Xk,f(Xk)). Aí:
f'(Xk)approxf(Xk)-f(Xk-1)Xk-Xk-1
Isso é só a fórmula de declive (coeficiente angular) de uma reta entre dois pontos.

Passo 4

Substitui essa aproximação na fórmula de Newton:
Xk+1 = Xk ;-; f(Xk);Xk-Xk-1,f(Xk)-f(Xk-1),
Pra juntar tudo num único quociente, coloca tudo sobre o mesmo denominador f(Xk)-f(Xk-1):
Xk+1 =Xkl[f(Xk)-f(Xk-1)r];-;f(Xk),(Xk-Xk-1) f(Xk)-f(Xk-1)
Agora expande o numerador:
  • Xk,f(Xk)-Xk,f(Xk-1)
  • menos Xk,f(Xk)
  • mais Xk-1,f(Xk)
    Cancelam os Xk,f(Xk) e sobra:
num = Xk-1,f(Xk);-;Xk,f(Xk-1)
Logo
Xk+1 =Xk-1,f(Xk)-Xk,f(Xk-1) f(Xk)-f(Xk-1),
que é justamente a fórmula do método da secante.

Resposta

Xk+1 =Xk-1,f(Xk)-Xk,f(Xk-1) f(Xk)-f(Xk-1)

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