Encontre uma raiz da função f(x)=x^3-12, no intervalo [0.6; 0.8] e com erro E=10^-2. obs.: Usar 6 casas decimais.

Passo 1

Beleza, a gente tem a função
f(x) = x^3 - tfrac12
e quer encontrar uma raiz em [0,600000;0,800000] com erro E = 10^-2. O método escolhido é o da bisseção, que consiste em dividir o intervalo ao meio até que sua largura fique menor que o erro permitido.

Passo 2

Primeiro verificamos a existência de raiz no intervalo inicial calculando
f(0,600000) = (0,600000)^3 - 0,500000 = 0,216000 - 0,500000 = -0,284000,
f(0,800000) = (0,800000)^3 - 0,500000 = 0,512000 - 0,500000 = 0,012000
Como f(0,600000) e f(0,800000) têm sinais opostos, há pelo menos uma raiz em [0,600000;0,800000].

Passo 3

O número de iterações necessárias para garantir erro abaixo de 10^-2 pelo critério
b0 - a02^n <= 10^-2
é
n >= log20,800000 - 0,6000000,010000 = log220 approx 4,322,
logo basta n = 5 iterações.

Passo 4

Executamos 5 iterações do método da bisseção, calculando em cada passo
;ci = tfracai + bi2; e ;f(ci), e atualizando o intervalo. Os resultados são
c|c|c|c|c|c i & ai & bi & ci & f(ci) & [ai+1,,bi+1]hline 1 & 0,600000 & 0,800000 & 0,700000 & -0,157000 & [0,700000,,0,800000] 2 & 0,700000 & 0,800000 & 0,750000 & -0,078125 & [0,750000,,0,800000] 3 & 0,750000 & 0,800000 & 0,775000 & -0,034516 & [0,775000,,0,800000] 4 & 0,775000 & 0,800000 & 0,787500 & -0,011620 & [0,787500,,0,800000] 5 & 0,787500 & 0,800000 & 0,793750 & 0,000094 & [0,787500,,0,793750]

Passo 5

Na 5ª iteração o intervalo final é [0,787500;0,793750], cuja largura é
0,793750 - 0,787500 = 0,006250 < 0,010000,
ou seja, já atingimos o erro desejado. Podemos, então, adotar
x approx 0,793750
como aproximação da raiz.

Resposta

x approx 0,793750

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