- Encontre a raiz da função
, no intervalo
0.1…
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma aproximação da raiz da função
no intervalo
com tolerância
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Intervalo inicial:
. - Tolerância para a raiz em
: .
Passo 2
Por que podemos garantir que existe uma raiz em
? Vou usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz: se
é contínua em um intervalo e
e
têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em
.
Calculo nas extremidades (estou pegando esses valores dos dados do problema, aplicando a função):
Calculo
Como
e
, há mudança de sinal, logo existe pelo menos uma raiz em
. Além disso,
é polinomial, portanto contínua, então o TVI se aplica.
Passo 3
Escolha do método: uso o método da bisseção. Por que ele é adequado? Porque é simples, garante convergência quando há mudança de sinal e não precisa derivadas nem cálculo avançado — ótimo para prova sem calculadora complexa.
Como funciona (aula rápida e prática):
Como funciona (aula rápida e prática):
- Dado um intervalo
com , calcula-se o ponto médio . - Avalia-se
. Se , achou a raiz. Se tem mesmo sinal que , a raiz está em ; caso contrário, está em . - Repete-se esse procedimento, reduzindo o comprimento do intervalo a cada iteração.
Critério de parada que vou usar: parar quando o comprimento do intervalo for menor ou igual a. Isso garante que qualquer ponto do intervalo (por exemplo o ponto médio) está a uma distância no máximo da verdadeira raiz; porém, como o enunciado pede como tolerância, adoto o critério prático: parar quando o comprimento do intervalo . (Outra alternativa é exigir ; ambas são maneiras usuais — aqui escolho comprimento para ficar direto.)
Passo 4
Agora aplico o método da bisseção passo a passo, mostrando todos os cálculos (cada valor numérico aparece em notação matematizada):
Intervalo inicial:
,
. Comprimento inicial
.
Iteração 1:
Avalio
:
Temos
e
. Como
tem o mesmo sinal que
, a raiz está em
. Novo intervalo:
,
. Comprimento
.
Iteração 2:
Avalio
:
Temos
. Como
e
são negativos, a raiz está em
. Novo intervalo:
,
. Comprimento
.
Iteração 3:
Avalio
:
Temos
. Como ainda é negativo, a raiz está em
. Novo intervalo:
,
. Comprimento
.
Iteração 4:
Avalio
:
Aqui
, diferente do sinal de
(que era negativo). Logo a raiz está em
. Novo intervalo:
,
. Comprimento
.
Agora
. Como o comprimento do intervalo é menor ou igual à tolerância
, posso parar. Qual é a aproximação da raiz que vou fornecer? Uma escolha natural é o ponto médio do último intervalo:
Esse
está dentro do intervalo onde existe a raiz, e a incerteza no
é no máximo o comprimento do intervalo
, que é menor que
. Portanto a aproximação atende a tolerância pedida.
Passo 5
Recapitulando de forma prática (como fazer na prova):
- Verifique sinais em
e para aplicar o TVI. - Use bisseção: calcule sucessivos pontos médios e avalie
. - Troque a extremidade cujo valor tem mesmo sinal que
do ponto médio. - Pare quando o comprimento do intervalo for
.
No exemplo, após 4 iterações o intervalo ficoucom comprimento , e o ponto médio é .