1. Encontre a raiz da função f(x)=x^{3}-9 x+2, no intervalo [-4 ;-3], \varepsilon= 0.1…

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma aproximação da raiz da função f(x)=x^{3}-9x+2 no intervalo [-4,-3] com tolerância \varepsilon=0,1.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-9x+2.
  • Intervalo inicial: [-4,-3].
  • Tolerância para a raiz em x: \varepsilon=0,1.

Passo 2

Por que podemos garantir que existe uma raiz em [-4,-3]? Vou usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz: se f é contínua em um intervalo e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em [a,b].
Calculo f nas extremidades (estou pegando esses valores dos dados do problema, aplicando a função):
f(-4)=(-4)^{3}-9(-4)+2=-64+36+2=-26,
f(-3)=(-3)^{3}-9(-3)+2=-27+27+2=2.
Como f(-4)=-26<0 e f(-3)=2>0, há mudança de sinal, logo existe pelo menos uma raiz em [-4,-3]. Além disso, f é polinomial, portanto contínua, então o TVI se aplica.

Passo 3

Escolha do método: uso o método da bisseção. Por que ele é adequado? Porque é simples, garante convergência quando há mudança de sinal e não precisa derivadas nem cálculo avançado — ótimo para prova sem calculadora complexa.
Como funciona (aula rápida e prática):
  • Dado um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0, calcula-se o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}.
  • Avalia-se f(m). Se f(m)=0, achou a raiz. Se f(m) tem mesmo sinal que f(a), a raiz está em [m,b]; caso contrário, está em [a,m].
  • Repete-se esse procedimento, reduzindo o comprimento do intervalo a cada iteração.
    Critério de parada que vou usar: parar quando o comprimento do intervalo for menor ou igual a \varepsilon. Isso garante que qualquer ponto do intervalo (por exemplo o ponto médio) está a uma distância no máximo \varepsilon/2 da verdadeira raiz; porém, como o enunciado pede \varepsilon como tolerância, adoto o critério prático: parar quando o comprimento do intervalo \le \varepsilon. (Outra alternativa é exigir |b-a|/2\le\varepsilon; ambas são maneiras usuais — aqui escolho comprimento \le\varepsilon para ficar direto.)

Passo 4

Agora aplico o método da bisseção passo a passo, mostrando todos os cálculos (cada valor numérico aparece em notação matematizada):
Intervalo inicial: a_{0}=-4, b_{0}=-3. Comprimento inicial b_{0}-a_{0}=1>0,1.
Iteração 1:
m_{1}=\frac{a_{0}+b_{0}}{2}=\frac{-4+(-3)}{2}=-3,5.
Avalio f(m_{1}):
f(-3,5)=(-3,5)^{3}-9(-3,5)+2=-42,875+31,5+2=-9,375.
Temos f(a_{0})=f(-4)=-26<0 e f(m_{1})=-9,375<0. Como f(m_{1}) tem o mesmo sinal que f(a_{0}), a raiz está em [m_{1},b_{0}]=[-3,5,-3]. Novo intervalo: a_{1}=-3,5, b_{1}=-3. Comprimento b_{1}-a_{1}=0,5>0,1.
Iteração 2:
m_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}=\frac{-3,5+(-3)}{2}=-3,25.
Avalio f(m_{2}):
f(-3,25)=(-3,25)^{3}-9(-3,25)+2=-34,328125+29,25+2=-3,078125.
Temos f(m_{2})=-3,078125<0. Como f(m_{2}) e f(a_{1}) são negativos, a raiz está em [m_{2},b_{1}]=[-3,25,-3]. Novo intervalo: a_{2}=-3,25, b_{2}=-3. Comprimento b_{2}-a_{2}=0,25>0,1.
Iteração 3:
m_{3}=\frac{a_{2}+b_{2}}{2}=\frac{-3,25+(-3)}{2}=-3,125.
Avalio f(m_{3}):
f(-3,125)=(-3,125)^{3}-9(-3,125)+2=-30,517578125+28,125+2=-0,392578125.
Temos f(m_{3})=-0,392578125<0. Como ainda é negativo, a raiz está em [m_{3},b_{2}]=[-3,125,-3]. Novo intervalo: a_{3}=-3,125, b_{3}=-3. Comprimento b_{3}-a_{3}=0,125>0,1.
Iteração 4:
m_{4}=\frac{a_{3}+b_{3}}{2}=\frac{-3,125+(-3)}{2}=-3,0625.
Avalio f(m_{4}):
f(-3,0625)=(-3,0625)^{3}-9(-3,0625)+2=-28,682373046875+27,5625+2=0,880126953125.
Aqui f(m_{4})=0,880126953125>0, diferente do sinal de f(a_{3}) (que era negativo). Logo a raiz está em [a_{3},m_{4}]=[-3,125,-3,0625]. Novo intervalo: a_{4}=-3,125, b_{4}=-3,0625. Comprimento b_{4}-a_{4}=0,0625.
Agora b_{4}-a_{4}=0,0625\le 0,1. Como o comprimento do intervalo é menor ou igual à tolerância \varepsilon, posso parar. Qual é a aproximação da raiz que vou fornecer? Uma escolha natural é o ponto médio do último intervalo:
x_{\text{aprox}}=\frac{a_{4}+b_{4}}{2}=\frac{-3,125+(-3,0625)}{2}=-3,09375.
Esse x_{\text{aprox}} está dentro do intervalo onde existe a raiz, e a incerteza no x é no máximo o comprimento do intervalo 0,0625, que é menor que \varepsilon=0,1. Portanto a aproximação atende a tolerância pedida.

Passo 5

Recapitulando de forma prática (como fazer na prova):
  • Verifique sinais em a e b para aplicar o TVI.
  • Use bisseção: calcule sucessivos pontos médios e avalie f.
  • Troque a extremidade cujo valor tem mesmo sinal que f do ponto médio.
  • Pare quando o comprimento do intervalo for \le \varepsilon.
    No exemplo, após 4 iterações o intervalo ficou [-3,125,-3,0625] com comprimento 0,0625\le0,1, e o ponto médio é -3,09375.

Resposta

-3,09375

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