A função
é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
[108:110]
[108:110]
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - Intervalo inicial para busca do zero:
(radianos). - Método exigido: método da posição falsa modificada (FPM — variante de Illinois).
- Critério de parada: tolerância
.
O que se pede: encontrar um valor
no intervalo dado tal que
usando o FPM até que
.
Passo 2
Breve explicação didática do método (FPM, variante de Illinois) e fórmula usada:
- A posição falsa (regula falsi) obtém, a cada iteração, um ponto
pela interpolação linear entre os extremos e :
- No método modificado (Illinois) evita-se estagnação reduzindo pela metade o valor de função do extremo que não mudou de sinal. Em prática:
- Se
então substitui-se e aplica-se . - Se
então substitui-se e aplica-se .
- Se
- Critério de parada usado aqui: parar quando
.
Dica útil para avaliar
com menos esforço:
então basta avaliar um seno de um ângulo deslocado.
Passo 3
Avaliação inicial dos extremos (peguei os valores de
e
do enunciado):
-
. -
.
Avaliar
nestes pontos usando
:
Veja que
e
, então existe pelo menos uma raiz no intervalo por continuidade.
Passo 4
Iteração 1 (calculando
):
- Fórmula:
- Substituindo os valores:
- Avaliando
(usei ):
Sinal de
: positivo (mesmo sinal de
). Pelo procedimento Illinois, como
e
têm mesmo sinal, substitui-se
e reduz-se
pela metade para evitar estagnação:
Passo 5
Iteração 2:
- Calcular
- Avaliar
Agora
tem sinal oposto a
, então substitui-se
e reduz-se
pela metade:
-
(metade de ). -
Passo 6
Iteração 3:
- Calcular
- Avaliar
Temos
(mesmo sinal de
), então substitui-se
e reduz-se
à metade:
-
-
(metade de ).
Passo 7
Iteração 4:
- Calcular
- Avaliar
Sinais opostos entre
e
, então substitui-se
e reduz-se
pela metade:
Passo 8
Iteração 5:
- Calcular
- Avaliar
Mesma sinal de
→ atualiza
e reduz
pela metade:
Passo 9
Iteração 6:
- Calcular
- Avaliar
Sinais opostos →
e reduz
pela metade:
Passo 10
Iteração 7:
- Calcular
- Avaliar
Verificação do critério:
. Portanto podemos parar:
é uma aproximação do zero da função no intervalo com a precisão solicitada.
Observação didática final: a função tem zeros exatos dados por
. No intervalo dado o zero real exato é
. O método FPM nos trouxe
que satisfaz
, como pedido.