A função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos (\mathrm{x}) é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[108:110]

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função \mathrm{f}(\mathrm{x}) = \operatorname{sen}(\mathrm{x}) + \cos(\mathrm{x}).
  • Intervalo inicial para busca do zero: [108\,;\,110] (radianos).
  • Método exigido: método da posição falsa modificada (FPM — variante de Illinois).
  • Critério de parada: tolerância \varepsilon = 0,002.
O que se pede: encontrar um valor x no intervalo dado tal que \mathrm{f}(x) \approx 0 usando o FPM até que |\mathrm{f}(x)| < \varepsilon.

Passo 2

Breve explicação didática do método (FPM, variante de Illinois) e fórmula usada:
  • A posição falsa (regula falsi) obtém, a cada iteração, um ponto c pela interpolação linear entre os extremos a e b:
c \;=\; b - \mathrm{f}(b)\,\frac{b-a}{\mathrm{f}(b)-\mathrm{f}(a)}.
  • No método modificado (Illinois) evita-se estagnação reduzindo pela metade o valor de função do extremo que não mudou de sinal. Em prática:
    • Se \mathrm{f}(a)\cdot\mathrm{f}\text{(c)} < 0 então substitui-se b \leftarrow c e aplica-se \mathrm{f}(a)\leftarrow \tfrac{1}{2}\mathrm{f}(a).
    • Se \mathrm{f}(b)\cdot\mathrm{f}\text{(c)} < 0 então substitui-se a \leftarrow c e aplica-se \mathrm{f}(b)\leftarrow \tfrac{1}{2}\mathrm{f}(b).
  • Critério de parada usado aqui: parar quando |\mathrm{f}\text{(c)}| < \varepsilon.
Dica útil para avaliar \mathrm{f} com menos esforço:
\mathrm{f}(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\,\sin\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr),
então basta avaliar um seno de um ângulo deslocado.

Passo 3

Avaliação inicial dos extremos (peguei os valores de a=108 e b=110 do enunciado):
  • a_0=108.
  • b_0=110.
Avaliar \mathrm{f} nestes pontos usando \mathrm{f}(x)=\sqrt{2}\sin(x+\pi/4):
  • \mathrm{f}(108)=\sqrt{2}\sin\!\bigl(108+\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sqrt{2}\sin\!\bigl((34+\tfrac{5}{8})\pi\bigr)=\sqrt{2}\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{8}\bigr)
    \Rightarrow \mathrm{f}(108)\approx 1,306562965.
  • \mathrm{f}(110)=\sqrt{2}\sin\!\bigl(110+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\approx -1,043263815.
Veja que \mathrm{f}(108)>0 e \mathrm{f}(110)<0, então existe pelo menos uma raiz no intervalo por continuidade.

Passo 4

Iteração 1 (calculando c_1):
  • Fórmula:
c_1=110-\mathrm{f}(110)\frac{110-108}{\mathrm{f}(110)-\mathrm{f}(108)}.
  • Substituindo os valores:
c_1 \approx 110 - (-1,043263815)\frac{2}{-1,043263815-1,306562965}\approx 109,112000.
  • Avaliando \mathrm{f}(c_1) (usei \sqrt{2}\sin(c_1+\pi/4)):
\mathrm{f}(109,112000)\approx 0,082525.
Sinal de \mathrm{f}(c_1): positivo (mesmo sinal de \mathrm{f}(108)). Pelo procedimento Illinois, como a e c_1 têm mesmo sinal, substitui-se a\leftarrow c_1 e reduz-se \mathrm{f}(b) pela metade para evitar estagnação:
  • a_1=109,112000,\\ \mathrm{f}(a_1)=0,082525.
  • b_1=110,\\ \mathrm{f}(b_1)=\tfrac{1}{2}(-1,043263815)=-0,521631908.

Passo 5

Iteração 2:
  • Calcular
c_2 = b_1 - \mathrm{f}(b_1)\frac{b_1-a_1}{\mathrm{f}(b_1)-\mathrm{f}(a_1)} \approx 109,233284.
  • Avaliar
\mathrm{f}(c_2)\approx -0,088972.
Agora \mathrm{f}(c_2) tem sinal oposto a \mathrm{f}(a_1), então substitui-se b\leftarrow c_2 e reduz-se \mathrm{f}(a) pela metade:
  • a_2=109,112000,\\ \mathrm{f}(a_2)=0,0412625 (metade de 0,082525).
  • b_2=109,233284,\\ \mathrm{f}(b_2)=-0,088972.

Passo 6

Iteração 3:
  • Calcular
c_3 \approx 109,150405.
  • Avaliar
\mathrm{f}(c_3)\approx 0,028190.
Temos \mathrm{f}(c_3)>0 (mesmo sinal de a_2), então substitui-se a\leftarrow c_3 e reduz-se \mathrm{f}(b) à metade:
  • a_3=109,150405,\\ \mathrm{f}(a_3)=0,028190.
  • b_3=109,233284,\\ \mathrm{f}(b_3)=-0,044486 (metade de -0,088972).

Passo 7

Iteração 4:
  • Calcular
c_4 \approx 109,182534.
  • Avaliar
\mathrm{f}(c_4)\approx -0,017230.
Sinais opostos entre \mathrm{f}(a_3) e \mathrm{f}(c_4), então substitui-se b\leftarrow c_4 e reduz-se \mathrm{f}(a) pela metade:
  • a_4=109,150405,\\ \mathrm{f}(a_4)=0,014095.
  • b_4=109,182534,\\ \mathrm{f}(b_4)=-0,017230.

Passo 8

Iteração 5:
  • Calcular
c_5 \approx 109,164874.
  • Avaliar
\mathrm{f}(c_5)\approx 0,007737.
Mesma sinal de a_4 → atualiza a\leftarrow c_5 e reduz \mathrm{f}(b) pela metade:
  • a_5=109,164874,\\ \mathrm{f}(a_5)=0,007737.
  • b_5=109,182534,\\ \mathrm{f}(b_5)=-0,008615.

Passo 9

Iteração 6:
  • Calcular
c_6 \approx 109,173226.
  • Avaliar
\mathrm{f}(c_6)\approx -0,004074.
Sinais opostos → b\leftarrow c_6 e reduz \mathrm{f}(a) pela metade:
  • a_6=109,164874,\\ \mathrm{f}(a_6)=0,0038685.
  • b_6=109,173226,\\ \mathrm{f}(b_6)=-0,004074.

Passo 10

Iteração 7:
  • Calcular
c_7 \approx 109,168941.
  • Avaliar
\mathrm{f}(c_7)\approx 0,001986.
Verificação do critério: |\mathrm{f}(c_7)| \approx 0,001986 < \varepsilon(=0,002). Portanto podemos parar: c_7 é uma aproximação do zero da função no intervalo com a precisão solicitada.
Observação didática final: a função tem zeros exatos dados por \sin(x+\tfrac{\pi}{4})=0\Rightarrow x=k\pi-\tfrac{\pi}{4}. No intervalo dado o zero real exato é x=35\pi-\tfrac{\pi}{4}\approx 109,170345. O método FPM nos trouxe x\approx 109,168941 que satisfaz |\mathrm{f}(x)|<0,002, como pedido.

Resposta

x \approx 109,168941 (radianos)

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