A função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos (\mathrm{x}) é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[148: 152]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um zero da função \mathrm{f}(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x) no intervalo [148,152] (valores em radianos), usando o método da posição falsa modificada (FPM), com tolerância \varepsilon=0,002.
Informações iniciais dadas:
  • Função: \mathrm{f}(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x).
  • Intervalo: a=148, b=152.
  • Critério de parada: |\mathrm{f}(x_r)|<\varepsilon=0,002.
  • Há garantia implícita de existência de raiz no intervalo (função contínua e sinais opostos nos extremos — isso será verificado).

Passo 2

Breve explicação didática do método (FPM / variante de Illinois) e fórmulas que vou usar:
  • Fórmula usada para aproximar a raiz (regula falsi):
x_r = b - \mathrm{f}(b)\,\frac{b-a}{\mathrm{f}(b)-\mathrm{f}(a)}.
Aqui a e b são as extremidades atuais do intervalo e \mathrm{f}(a),\mathrm{f}(b) seus valores. O x_r é a interseção da reta que passa pelos pontos (a,\mathrm{f}(a)) e (b,\mathrm{f}(b)) com o eixo x.
  • Regra da posição falsa modificada (versão de Illinois, explicada passo a passo): quando, depois de calcular x_r, o novo ponto substitui um dos extremos (por ter sinal oposto), o outro extremo fica inalterado. Se um extremo permanecer inalterado por uma iteração, na iteração seguinte usa-se metade do seu valor de função (ou seja, substitui-se \mathrm{f}(\text{extremo}) por \tfrac{1}{2}\mathrm{f}(\text{extremo})) na fórmula do ponto de interseção. Isso evita que um extremo “prenda” o método e acelera a convergência.
  • Identidade trigonométrica útil (para calcular \mathrm{f}(x) com mais precisão e entender a raiz exata):
\operatorname{sen}(x)+\cos(x)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Logo as raízes são
x = -\tfrac{\pi}{4} + n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Isto ajuda a conferir resultados numéricos (não substitui o uso do método, mas facilita verificar sinais e estimar resíduos).

Passo 3

Verificar sinais nas extremidades e calcular \mathrm{f}(a), \mathrm{f}(b) (vou usar aproximações numéricas com poucas casas decimais, mantendo coerência):
  • Calculei \mathrm{f}(148). Usando a identidade:
\mathrm{f}(148)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(148+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Numericamente obtém-se \mathrm{f}(148)\approx -1,27937 (valor negativo).
  • Calculei \mathrm{f}(152):
\mathrm{f}(152)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(152+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\approx +1,29205
(valor positivo).
Conclusão: \mathrm{f}(148)<0 e \mathrm{f}(152)>0, há pelo menos uma raiz em [148,152]. Vamos aplicar a FPM.

Passo 4

Iteração 1 (início): a_0=148,\;b_0=152,\;\mathrm{f}(a_0)\approx-1,27937,\;\mathrm{f}(b_0)\approx+1,29205.
  • Calcula-se x_1 por:
x_1 = b_0 - \mathrm{f}(b_0)\frac{b_0-a_0}{\mathrm{f}(b_0)-\mathrm{f}(a_0)} =152 - 1,29205\cdot\frac{4}{1,29205-(-1,27937)}\approx 149,991.
  • Avaliação: \mathrm{f}(x_1)\approx -0,02863 (negativo).
    Sinal de \mathrm{f}(x_1) é igual ao de \mathrm{f}(a_0) (ambos negativos), então substituímos a_0 por x_1: a_1=149,991. O extremo que não se moveu foi b (permaneceu 152), então, pela regra modificada, halvo o seu valor de função para a iteração seguinte:
\mathrm{f}(b)\leftarrow\tfrac{1}{2}\mathrm{f}(b_0)\approx\tfrac{1}{2}\cdot1,29205=0,646025.

Passo 5

Iteração 2: a_1=149,991,\;b_1=152,\;\mathrm{f}(a_1)\approx-0,02863,\;\mathrm{f}(b_1)\approx0,646025 (valor de b já modificado).
  • Calcula-se
x_2 = b_1 - \mathrm{f}(b_1)\frac{b_1-a_1}{\mathrm{f}(b_1)-\mathrm{f}(a_1)} \approx 152 - 0,646025\cdot\frac{2,009}{0,646025-(-0,02863)}\approx 150,0769.
  • Avaliação: \mathrm{f}(x_2)\approx +0,09299 (positivo).
    Agora \mathrm{f}(x_2) tem sinal oposto de \mathrm{f}(a_1), logo substituímos b por x_2: b_2=150,0769. O extremo que ficou inalterado foi a (permaneceu 149,991), então, pela regra de Illinois, halve-se \mathrm{f}(a) para a próxima iteração:
\mathrm{f}(a)\leftarrow\tfrac{1}{2}\mathrm{f}(a_1)\approx\tfrac{1}{2}\cdot(-0,02863)=-0,014315.

Passo 6

Iteração 3: a_2=149,991,\;b_2=150,0769,\;\mathrm{f}(a_2)\approx-0,014315,\;\mathrm{f}(b_2)\approx0,09299.
  • Calcula-se
x_3 = b_2 - \mathrm{f}(b_2)\frac{b_2-a_2}{\mathrm{f}(b_2)-\mathrm{f}(a_2)} \approx 150,0025.
  • Avaliação: \mathrm{f}(x_3)\approx -0,01185 (negativo).
    Sinal igual ao de \mathrm{f}(a_2), substitui-se a por x_3: a_3=150,0025. O extremo inalterado foi b (permaneceu 150,0769), então halve-se \mathrm{f}(b) para a próxima iteração:
\mathrm{f}(b)\leftarrow\tfrac{1}{2}\cdot 0,09299=0,046495.

Passo 7

Iteração 4: a_3=150,0025,\;b_3=150,0769,\;\mathrm{f}(a_3)\approx-0,01185,\;\mathrm{f}(b_3)\approx0,046495.
  • Calcula-se
x_4 \approx 150,0176.
  • Avaliação: \mathrm{f}(x_4)\approx +0,00938 (positivo).
    Sinal oposto ao de \mathrm{f}(a_3), então atualiza-se b\leftarrow x_4: b_4=150,0176. O extremo que ficou inalterado foi a (permaneceu 150,0025), então halve-se \mathrm{f}(a):
\mathrm{f}(a)\leftarrow\tfrac{1}{2}\cdot(-0,01185)=-0,005925.

Passo 8

Iteração 5: a_4=150,0025,\;b_4=150,0176,\;\mathrm{f}(a_4)\approx-0,005925,\;\mathrm{f}(b_4)\approx0,00938.
  • Calcula-se
x_5 \approx 150,00835.
  • Avaliação: \mathrm{f}(x_5)\approx -0,00296 (negativo).
    Sinal igual ao de a, então a\leftarrow x_5: a_5=150,00835. Como b permaneceu inalterado, halve-se \mathrm{f}(b):
\mathrm{f}(b)\leftarrow\tfrac{1}{2}\cdot0,00938=0,00469.

Passo 9

Iteração 6: a_5=150,00835,\;b_5=150,0176,\;\mathrm{f}(a_5)\approx-0,00296,\;\mathrm{f}(b_5)\approx0,00469.
  • Calcula-se
x_6 \approx 150,01193.
  • Avaliação: \mathrm{f}(x_6)\approx +0,00125.
    Agora |\mathrm{f}(x_6)|\approx 0,00125 < \varepsilon=0,002. Portanto o critério de parada está satisfeito e podemos aceitar x_6 como aproximação da raiz obtida pelo método.
Observação de verificação: a solução analítica da equação \operatorname{sen}(x)+\cos(x)=0 é x=-\tfrac{\pi}{4}+n\pi. Para n=48 obtém-se a raiz exata
x^\ast = -\tfrac{\pi}{4}+48\pi \approx 150,011049209\ldots
A aproximação final obtida pela FPM foi x_6\approx150,01193, que está muito próxima da raiz exata e satisfaz o critério em termos de |\mathrm{f}(x)|.

Resposta

x \approx 150,01193

Exercícios relacionados