A função
é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um zero da função
no intervalo
(valores em radianos), usando o método da posição falsa modificada (FPM), com tolerância
.
Informações iniciais dadas:
Informações iniciais dadas:
- Função:
. - Intervalo:
, . - Critério de parada:
. - Há garantia implícita de existência de raiz no intervalo (função contínua e sinais opostos nos extremos — isso será verificado).
Passo 2
Breve explicação didática do método (FPM / variante de Illinois) e fórmulas que vou usar:
- Fórmula usada para aproximar a raiz (regula falsi):
Aqui
e
são as extremidades atuais do intervalo e
seus valores. O
é a interseção da reta que passa pelos pontos
e
com o eixo
.
-
Regra da posição falsa modificada (versão de Illinois, explicada passo a passo): quando, depois de calcular
, o novo ponto substitui um dos extremos (por ter sinal oposto), o outro extremo fica inalterado. Se um extremo permanecer inalterado por uma iteração, na iteração seguinte usa-se metade do seu valor de função (ou seja, substitui-se por ) na fórmula do ponto de interseção. Isso evita que um extremo “prenda” o método e acelera a convergência. -
Identidade trigonométrica útil (para calcular
com mais precisão e entender a raiz exata):
Logo as raízes são
Isto ajuda a conferir resultados numéricos (não substitui o uso do método, mas facilita verificar sinais e estimar resíduos).
Passo 3
Verificar sinais nas extremidades e calcular
,
(vou usar aproximações numéricas com poucas casas decimais, mantendo coerência):
- Calculei
. Usando a identidade:
Numericamente obtém-se
(valor negativo).
- Calculei
:
(valor positivo).
Conclusão:
e
, há pelo menos uma raiz em
. Vamos aplicar a FPM.
Passo 4
Iteração 1 (início):
.
- Calcula-se
por:
- Avaliação:
(negativo).
Sinal deé igual ao de (ambos negativos), então substituímos por : . O extremo que não se moveu foi (permaneceu 152), então, pela regra modificada, halvo o seu valor de função para a iteração seguinte:
Passo 5
Iteração 2:
(valor de
já modificado).
- Calcula-se
- Avaliação:
(positivo).
Agoratem sinal oposto de , logo substituímos por : . O extremo que ficou inalterado foi (permaneceu 149,991), então, pela regra de Illinois, halve-se para a próxima iteração:
Passo 6
Iteração 3:
.
- Calcula-se
- Avaliação:
(negativo).
Sinal igual ao de, substitui-se por : . O extremo inalterado foi (permaneceu ), então halve-se para a próxima iteração:
Passo 7
Iteração 4:
.
- Calcula-se
- Avaliação:
(positivo).
Sinal oposto ao de, então atualiza-se : . O extremo que ficou inalterado foi (permaneceu ), então halve-se :
Passo 8
Iteração 5:
.
- Calcula-se
- Avaliação:
(negativo).
Sinal igual ao de, então : . Como permaneceu inalterado, halve-se :
Passo 9
Iteração 6:
.
- Calcula-se
- Avaliação:
.
Agora. Portanto o critério de parada está satisfeito e podemos aceitar como aproximação da raiz obtida pelo método.
Observação de verificação: a solução analítica da equação
é
. Para
obtém-se a raiz exata
A aproximação final obtida pela FPM foi
, que está muito próxima da raiz exata e satisfaz o critério em termos de
.