1. Por meio do Método da Bissecção, encontre as raízes da função \mathrm{f}(\mathrm{x})= \mathrm{x} \log (\mathrm{x})-1 no intervalo [2; 3], \varepsilon=0.002.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as raízes da função \mathrm{f}(\mathrm{x})= \mathrm{x}\,\log(\mathrm{x})-1 no intervalo [2;3] usando o Método da Bissecção com tolerância \varepsilon = 0,002.
Informações dadas:
  • Função: \mathrm{f}(\mathrm{x})= \mathrm{x}\,\log(\mathrm{x})-1.
  • Intervalo inicial: a=2, b=3.
  • Tolerância (erro máximo no intervalo): \varepsilon = 0,002.
Observação importante sobre o símbolo \log:
  • Se \log for o logaritmo natural \ln, então \mathrm{f}(2)=2\ln 2-1\approx 0,386294>0,\qquad \mathrm{f}(3)=3\ln 3-1\approx 2,295836>0,ou seja, não há troca de sinal em [2,3] e o método da bissecção não se aplica nesse intervalo (não garante raiz).
  • Se \log for o logaritmo decimal \log_{10}, então \mathrm{f}(2)=2\log_{10}2-1\approx -0,39794,\qquad \mathrm{f}(3)=3\log_{10}3-1\approx 0,43136,há troca de sinal em [2,3] e por isso existe pelo menos uma raiz nesse intervalo e o método da bissecção é aplicável.
Decisão (justificada): para que a técnica pedida funcione no intervalo indicado, assumiremos que \log é o logaritmo decimal \log_{10}. Esta escolha é natural aqui porque só assim existe mudança de sinal em [2,3] e podemos aplicar a bissecção.

Passo 2

Explicação do Método da Bissecção (a “aula rápida”):
  • O método exige que \mathrm{f}(a) e \mathrm{f}(b) tenham sinais opostos. Então existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  • Em cada iteração:
    1. calcula-se o ponto médio \mathrm{m}=\dfrac{a+b}{2};
    2. calcula-se \mathrm{f}(\mathrm{m});
    3. determina-se em qual subintervalo há mudança de sinal:
      • se \mathrm{f}(a)\cdot \mathrm{f}(\mathrm{m})<0 escolhe-se [a,\mathrm{m}];
      • senão (isto é, \mathrm{f}(\mathrm{m})\cdot \mathrm{f}(b)<0) escolhe-se [\mathrm{m},b].
  • Critério de parada usado aqui: parar quando o comprimento do intervalo b-a ficar menor ou igual à tolerância \varepsilon. Neste caso qualquer ponto dentro do último intervalo tem erro máximo na abscissa menor que \varepsilon. É comum também usar (b-a)/2\le\varepsilon; ambos são aceitáveis. Vou usar o critério b-a\le\varepsilon (mais direto).
  • Fórmulas úteis: \mathrm{m}=\frac{a+b}{2},\qquad\text{decidir pelo sinal de }\mathrm{f}(\mathrm{m}).

Passo 3

Preparação numérica inicial (com \log=\log_{10}):
  • Calcular valores nos extremos: \log_{10}2\approx 0,30103,\qquad \log_{10}3\approx 0,47712.
  • Portanto \mathrm{f}(2)=2\cdot 0,30103-1=0,60206-1=-0,39794,
\mathrm{f}(3)=3\cdot 0,47712-1=1,43136-1=0,43136.
  • Conclusão: \mathrm{f}(2)<0 e \mathrm{f}(3)>0. Há raiz em [2,3]. Vamos começar as iterações.

Passo 4

Iteração 1:
  • a=2, b=3.
  • \mathrm{m}_1=\dfrac{2+3}{2}=2,5.
  • \log_{10}2,5\approx 0,39794.
  • \mathrm{f}(2,5)=2,5\cdot 0,39794-1=0,99485-1=-0,00515.
  • Sinal: \mathrm{f}(2)=-0,39794 e \mathrm{f}(2,5)=-0,00515 têm mesmo sinal, logo a raiz está em [2,5;3] ou seja em [2,5,\,3] não — cuidado: aplicar corretamente a regra: como \mathrm{f}(2,5) é negativo e \mathrm{f}(3) é positivo, a subintervalo com mudança de sinal é [2,5,\,3]. Então o novo intervalo é a\leftarrow 2,5,\qquad b\leftarrow 3.

Passo 5

Iteração 2:
  • a=2,5, b=3.
  • \mathrm{m}_2=\dfrac{2,5+3}{2}=2,75.
  • \log_{10}2,75\approx 0,43933.
  • \mathrm{f}(2,75)=2,75\cdot 0,43933-1=1,20866-1=0,20866.
  • Sinais: \mathrm{f}(2,5)=-0,00515 e \mathrm{f}(2,75)=0,20866 têm sinais opostos. Portanto a raiz está em [2,5;\,2,75]. Novo intervalo: a\leftarrow 2,5,\qquad b\leftarrow 2,75.

Passo 6

Iteração 3:
  • a=2,5, b=2,75.
  • \mathrm{m}_3=\dfrac{2,5+2,75}{2}=2,625.
  • \log_{10}2,625\approx 0,41913.
  • \mathrm{f}(2,625)=2,625\cdot 0,41913-1\approx 1,10021-1=0,10021.
  • Sinais: \mathrm{f}(2,5)=-0,00515 e \mathrm{f}(2,625)=0,10021 opostos → raiz em [2,5;\,2,625]. a\leftarrow 2,5,\qquad b\leftarrow 2,625.

Passo 7

Iteração 4:
  • a=2,5, b=2,625.
  • \mathrm{m}_4=\dfrac{2,5+2,625}{2}=2,5625.
  • \log_{10}2,5625\approx 0,40866.
  • \mathrm{f}(2,5625)=2,5625\cdot 0,40866-1\approx 1,04720-1=0,04720.
  • Sinais: \mathrm{f}(2,5)=-0,00515 e \mathrm{f}(2,5625)=0,04720 opostos → nova faixa a\leftarrow 2,5,\qquad b\leftarrow 2,5625.

Passo 8

Iteração 5:
  • a=2,5, b=2,5625.
  • \mathrm{m}_5=\dfrac{2,5+2,5625}{2}=2,53125.
  • \log_{10}2,53125\approx 0,403335.
  • \mathrm{f}(2,53125)=2,53125\cdot 0,403335-1\approx 1,02094-1=0,02094.
  • Sinais: \mathrm{f}(2,5)=-0,00515 e \mathrm{f}(2,53125)=0,02094 opostos → nova faixa a\leftarrow 2,5,\qquad b\leftarrow 2,53125.

Passo 9

Iteração 6:
  • a=2,5, b=2,53125.
  • \mathrm{m}_6=\dfrac{2,5+2,53125}{2}=2,515625.
  • Estimativa: \log_{10}2,515625\approx 0,400645.
  • \mathrm{f}(2,515625)=2,515625\cdot 0,400645-1\approx 1,00787-1=0,00787.
  • Sinais: \mathrm{f}(2,5)=-0,00515 e \mathrm{f}(2,515625)=0,00787 opostos → nova faixa a\leftarrow 2,5,\qquad b\leftarrow 2,515625.

Passo 10

Iteração 7:
  • a=2,5, b=2,515625.
  • \mathrm{m}_7=\dfrac{2,5+2,515625}{2}=2,5078125.
  • Estimativa: \log_{10}2,5078125\approx 0,399295.
  • \mathrm{f}(2,5078125)=2,5078125\cdot 0,399295-1\approx 1,00129-1=0,00129.
  • Sinais: \mathrm{f}(2,5)=-0,00515 e \mathrm{f}(2,5078125)=0,00129 opostos → nova faixa a\leftarrow 2,5,\qquad b\leftarrow 2,5078125.

Passo 11

Iteração 8:
  • a=2,5, b=2,5078125.
  • \mathrm{m}_8=\dfrac{2,5+2,5078125}{2}=2,50390625.
  • Estimativa: \log_{10}2,50390625\approx 0,398618.
  • \mathrm{f}(2,50390625)=2,50390625\cdot 0,398618-1\approx 0,99810-1=-0,00190.
  • Sinais: \mathrm{f}(2,50390625)=-0,00190 e \mathrm{f}(2,5078125)=0,00129 opostos → nova faixa a\leftarrow 2,50390625,\qquad b\leftarrow 2,5078125.
  • Comprimento do intervalo atual: b-a=2,5078125-2,50390625=0,00390625, ainda maior que \varepsilon=0,002, então continua.

Passo 12

Iteração 9:
  • a=2,50390625, b=2,5078125.
  • \mathrm{m}_9=\dfrac{2,50390625+2,5078125}{2}=2,505859375.
  • Estimativa: \log_{10}2,505859375\approx 0,398957.
  • \mathrm{f}(2,505859375)=2,505859375\cdot 0,398957-1\approx 0,99973-1=-0,00027.
  • Sinais: \mathrm{f}(2,505859375)=-0,00027 e \mathrm{f}(2,5078125)=0,00129 opostos → nova faixa a\leftarrow 2,505859375,\qquad b\leftarrow 2,5078125.
  • Agora o comprimento do intervalo é b-a=2,5078125-2,505859375=0,001953125, que é menor que \varepsilon=0,002. Portanto atingimos a tolerância e podemos parar.

Passo 13

Interpretação final e escolha da aproximação:
  • Quando o critério é b-a\le \varepsilon, qualquer ponto dentro de [a,b] é uma aproximação com erro de abscissa no máximo 0,002.
  • A escolha padrão é tomar o ponto médio final como aproximação da raiz. O ponto médio do último intervalo é \mathrm{c}=\frac{a+b}{2}=\frac{2,505859375+2,5078125}{2}=2,5068359375.
  • Arredondando conforme a tolerância (duas ou três casas decimais suficientes), podemos apresentar \mathrm{c}\approx 2,5068 ou mais precisamente \mathrm{c}\approx 2,5068359375.

Resposta

2,5068359375

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