- Por meio do Método da Bissecção, encontre as raízes da função
no intervalo [2; 3],
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as raízes da função
no intervalo
usando o Método da Bissecção com tolerância
.
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo inicial:
, . - Tolerância (erro máximo no intervalo):
.
Observação importante sobre o símbolo
:
- Se
for o logaritmo natural , então ou seja, não há troca de sinal em e o método da bissecção não se aplica nesse intervalo (não garante raiz). - Se
for o logaritmo decimal , então há troca de sinal em e por isso existe pelo menos uma raiz nesse intervalo e o método da bissecção é aplicável.
Decisão (justificada): para que a técnica pedida funcione no intervalo indicado, assumiremos que
é o logaritmo decimal
. Esta escolha é natural aqui porque só assim existe mudança de sinal em
e podemos aplicar a bissecção.
Passo 2
Explicação do Método da Bissecção (a “aula rápida”):
- O método exige que
e tenham sinais opostos. Então existe pelo menos uma raiz em . - Em cada iteração:
- calcula-se o ponto médio
; - calcula-se
; - determina-se em qual subintervalo há mudança de sinal:
- se
escolhe-se ; - senão (isto é,
) escolhe-se .
- se
- calcula-se o ponto médio
- Critério de parada usado aqui: parar quando o comprimento do intervalo
ficar menor ou igual à tolerância . Neste caso qualquer ponto dentro do último intervalo tem erro máximo na abscissa menor que . É comum também usar ; ambos são aceitáveis. Vou usar o critério (mais direto). - Fórmulas úteis:
Passo 3
Preparação numérica inicial (com
):
- Calcular valores nos extremos:
- Portanto
- Conclusão:
e . Há raiz em . Vamos começar as iterações.
Passo 4
Iteração 1:
-
, . -
-
-
- Sinal:
e têm mesmo sinal, logo a raiz está em ou seja em não — cuidado: aplicar corretamente a regra: como é negativo e é positivo, a subintervalo com mudança de sinal é . Então o novo intervalo é
Passo 5
Iteração 2:
-
, . -
-
-
- Sinais:
e têm sinais opostos. Portanto a raiz está em . Novo intervalo:
Passo 6
Iteração 3:
-
, . -
-
-
- Sinais:
e opostos → raiz em .
Passo 7
Iteração 4:
-
, . -
-
-
- Sinais:
e opostos → nova faixa
Passo 8
Iteração 5:
-
, . -
-
-
- Sinais:
e opostos → nova faixa
Passo 9
Iteração 6:
-
, . -
- Estimativa:
-
- Sinais:
e opostos → nova faixa
Passo 10
Iteração 7:
-
, . -
- Estimativa:
-
- Sinais:
e opostos → nova faixa
Passo 11
Iteração 8:
-
, . -
- Estimativa:
-
- Sinais:
e opostos → nova faixa - Comprimento do intervalo atual:
, ainda maior que , então continua.
Passo 12
Iteração 9:
-
, . -
- Estimativa:
-
- Sinais:
e opostos → nova faixa - Agora o comprimento do intervalo é
, que é menor que . Portanto atingimos a tolerância e podemos parar.
Passo 13
Interpretação final e escolha da aproximação:
- Quando o critério é
, qualquer ponto dentro de é uma aproximação com erro de abscissa no máximo . - A escolha padrão é tomar o ponto médio final como aproximação da raiz. O ponto médio do último intervalo é
- Arredondando conforme a tolerância (duas ou três casas decimais suficientes), podemos apresentar
ou mais precisamente .