A função
possui uma raiz real múltipla. Encontre esta raiz usando o método de Newton Rahpson com
. Tente também aplicar o método da iteração linear com o mesmo chute inicial e compare o número de iterações necessárias para obter a mesma precisão.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Encontrar a raiz real múltipla de
aplicando o método de Newton–Raphson com chute inicial . - Tentar também o método de iteração linear (fixo) com o mesmo chute
. - Comparar o número de iterações necessárias em cada método para obter a mesma precisão.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - Chute inicial para ambos os métodos:
. - O enunciado não especifica a precisão; vou adotar como critério de comparação a tolerância
(ou seja, considerar a iteração suficiente quando ). Vou deixar isso explícito para que a comparação seja objetiva.
Passo 2
Primeira observação útil (fatoração): note que
Explicando: ao expandir
obtém-se exatamente
. Isso implica duas coisas importantes:
- A raiz de
é exatamente a solução de , ou seja da equação
- Como
é um quadrado, a raiz é de multiplicidade (raiz dupla).
Também é útil notar que a equação
tem uma única solução real (a função
tem derivada
, logo é estritamente crescente e cruza o eixo uma única vez).
Passo 3
Encontrar numericamente a raiz: a solução da equação
pode ser escrita usando a função de Lambert
como
porque
equivale a
, logo
. Numericamente,
Vou usar como valor de referência
Esse é o valor que ambos os métodos devem aproximar.
Passo 4
Preparar o método de Newton–Raphson e entender seu comportamento para raiz múltipla.
- Fórmula de Newton clássica:
- Para nossa função
é conveniente calcular por diferenciação da forma fatorada:
Assim, para
tal que
temos
Portanto o passo de Newton simplifica dramaticamente para
Observação didática: isso acontece porque a estrutura quadrada faz cancelar
no quociente
. É bem prático na implementação.
- Comportamento de convergência para raiz dupla: para uma raiz de multiplicidade
o método de Newton converge (em geral) apenas linearmente com taxa assintótica . Aqui então a taxa assintótica é . Isso significa que, quando suficientemente perto da raiz, o erro se comporta aproximadamente como
Esse fato servirá para estimar o número de iterações necessárias.
Passo 5
Aplicar uma iteração Newton explícita (mostrar o primeiro passo numérico para entender o processo).
Chute
.
Calcular com a fórmula simplificada:
Calcular
Sabendo
, obtemos
logo
Erro inicial
.
Erro após a primeira iteração .
Perceba que já houve uma redução significativa do erro (mais rápida que o fator assintótico — comportamento inicial pode ser melhor que o assintótico).
Erro após a primeira iteração
Perceba que já houve uma redução significativa do erro (mais rápida que o fator assintótico
Passo 6
Preparar o método de iteração linear (fixo) e estudar sua convergência.
- A forma natural de iteração fixa é reescrever
como
- Critério de convergência local: se
então é contratante localmente em torno de e a iteração converge linearly com taxa aproximadamente . Aqui
então no ponto fixo
(onde
) temos
Assim o fator de contração assintótico em módulo é
por iteração (o erro se reduz por esse fator assintoticamente).
- Resumo didático: Newton (para raiz dupla) tem fator assintótico
. A iteração fixa tem fator assintótico . Como , Newton é assintoticamente um pouco mais rápido (reduz o erro mais por iteração). Vamos quantificar isso em número de iterações para a mesma tolerância.)
Passo 7
Estimar o número de iterações necessárias em cada método para atingir
com
, usando o comportamento linear assintótico.
Modelo de erro (aproximação geométrica válida assimptoticamente):
- Newton (raiz dupla):
. - Iteração fixa:
, com .
Tomando logaritmos para resolver
dá
onde
é o fator de contração (
para Newton,
para iteração fixa) e
.
Calcular numericamente:
então o numerador comum é
Agora o denominador:
- Para Newton:
, então
Logo são necessárias
iterações (aproximando para cima).
- Para iteração fixa:
(lembrando a identidade válida aqui), então
Logo são necessárias
iterações.
Interpretação: para a tolerância escolhida (
), o método de Newton precisaria, em regime assintótico, de cerca de
iterações, enquanto a iteração fixa precisaria de cerca de
iterações. Newton é um pouco mais rápido (cerca de 7 iterações a menos neste exemplo).
Passo 8
Comentários finais didáticos e verificação prática:
- A estimativa acima usa o comportamento assintótico linear (ou seja, válida quando já estamos na vizinhança da raiz). Como se viu no cálculo do primeiro passo de Newton, o erro pode diminuir mais rápido nas primeiras iterações; contudo a previsão assintótica costuma ser boa para contar iterações até uma tolerância pequena como
. - Se alguém preferir, pode executar os dois métodos numericamente (implementando as fórmulas dadas) até o critério
ou e contar as iterações; os números obtidos deverão concordar com a estimativa (podendo variar em ±1 iteração por efeitos não-assintóticos iniciais). - Resumindo intuitivo: método fixo com
é um mapa contratante com fator ; Newton para raiz dupla tem fator assintótico . Ambos convergem linearmente; Newton é ligeiramente mais eficiente aqui.
Resposta
Número de iterações (tolerância
Número de iterações (tolerância