Encontre a(s) raiz(es) para uma tolerância de 10^-4 usando os métodos da bissecção, Newton e secante, no intervalo especificado:
f(x)=x^3-2 x-1, -1 <= x <= 0.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra encontrar as raízes da função
f(x) = x^3 - 2x - 1
no intervalo xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) , com tolerância xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1), , usando três métodos: bissecção, Newton e secante.
Conteúdo: raízes de equações não-lineares e métodos iterativos.
O que vamos precisar:
  • Saber checar mudanças de sinal (para bissecção).
  • Conhecer fórmula do método de Newton:
  • Saber a fórmula do método da secante:
Também vamos verificar as condições de uso de cada método.

Passo 2

Primeiro, achamos possíveis raízes na faixa fazendo um “scan” rápido:
  • . Logo, é raiz exata!
  • No restante do intervalo (negativo), e por teste em . Ou seja, há mudança de sinal entre (positivo) e (negativo): surge uma segunda raiz aproximada, digamos .
Resumindo temos duas raízes em :
  1. (já exata),
  2. .

Passo 3

Teoria rápida: bissecção exige x2 approx -0,6180 (ou ) para garantir raiz no intervalo .
  • No caso de , basta ver que e parar: já achamos a raiz exata.
  • Para , escolhemos intervalo inicial , pois e .
    Vamos iterar até o comprimento do intervalo ser (para garantir erro no meio).
    1. , → nova base
    2. ,
    3. ,
    4. ,
      … e assim por diante, até .
      No fim obtemos

Passo 4

Teoria: Newton usa derivada x1 = -0,7 - 0,057-0,53 approx -0,5925 . Precisa de x2 = -0,5925 - -0,0197-0,949 approx -0,6133 perto da raiz.
Para achar x3 approx -0,6179 , escolhemos chute inicial x4 approx -0,6180, .
Iterações:
  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
já com .

Passo 5

Teoria: secante não usa derivada, mas precisa de dois chutes iniciais com x2 = -0,8 - 0,088;-0,8+0,50,088 - (-0,125) approx -0,676 .
Escolhemos x3 approx -0,631, x4 approx -0,6158, x5 approx -0,6171, , x2 approx -0,6180 .
Iteramos:
1)
e em poucas iterações converge para
quando .

Resposta

As raízes de x1 = -1,0000e x2 approx -0,6180 em com tolerância são:
– Bissecção: sai trivial e .
– Newton: .
– Secante: .

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