Encontre a(s) raiz(es) para uma tolerância de
usando os métodos da bissecção, Newton e secante, no intervalo especificado:
.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra encontrar as raízes da função
no intervalo
, com tolerância
, usando três métodos: bissecção, Newton e secante.
Conteúdo: raízes de equações não-lineares e métodos iterativos.
O que vamos precisar:
Conteúdo: raízes de equações não-lineares e métodos iterativos.
O que vamos precisar:
- Saber checar mudanças de sinal (para bissecção).
- Conhecer fórmula do método de Newton:
- Saber a fórmula do método da secante:
Também vamos verificar as condições de uso de cada método.
Passo 2
Primeiro, achamos possíveis raízes na faixa
fazendo um “scan” rápido:
-
. Logo, é raiz exata! - No restante do intervalo
(negativo), e por teste em dá . Ou seja, há mudança de sinal entre (positivo) e (negativo): surge uma segunda raiz aproximada, digamos .
Resumindo temos duas raízes em
:
-
(já exata), -
.
Passo 3
Teoria rápida: bissecção exige
(ou
) para garantir raiz no intervalo
.
- No caso de
, basta ver que e parar: já achamos a raiz exata. - Para
, escolhemos intervalo inicial , pois e .
Vamos iterar até o comprimento do intervalo ser(para garantir erro no meio). -
, → nova base -
, → -
, → -
, →
… e assim por diante, até.
No fim obtemos
-
Passo 4
Teoria: Newton usa derivada
. Precisa de
perto da raiz.
Para achar , escolhemos chute inicial
.
Iterações:
Para achar
Iterações:
-
, -
, -
, -
,
já com
.
Passo 5
Teoria: secante não usa derivada, mas precisa de dois chutes iniciais com
.
Escolhemos ,
.
Iteramos:
1)
Escolhemos
Iteramos:
1)
e em poucas iterações converge para
quando
.
Resposta
As raízes de
em
com tolerância
são:
– Bissecção:
sai trivial e
.
– Newton: .
– Secante: .
– Newton:
– Secante: