Encontre a(s) raiz(es) para uma tolerância de
usando os métodos da bissecção, Newton e secante, no intervalo especificado:
.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.
Passo 1
Beleza, primeiro vamos entender o que a questão pede.
Temos a função
Temos a função
e queremos achar a(s) raiz(es) com tolerância
usando três métodos: bissecção, Newton e secante.
Para isso vamos precisar de:
Para isso vamos precisar de:
- Noções de continuidade e sinal de uma função (pra ver se bissecção se aplica).
- Derivada
(pra Newton). - Uma estratégia de chute inicial (pra Newton e secante).
- Tolerância
e critério de parada.
Passo 2
Antes de sair calculando, a gente sempre verifica se existe raiz em
.
- Avalia em
:
- Para todo
, note que
Ou seja,
é sempre maior que zero para todo
(aliás
é crescente porque sua derivada é sempre positiva, veja no próximo passo).
Isso significa que não há mudança de sinal em e, portanto, não existe raiz em
.
Isso significa que não há mudança de sinal em
Passo 3
Vamos agora checar as condições de cada método de verdade:
-
Bissecção:
- Precisa de um intervalo
com . - Aqui
para todo , então nunca encontramos com sinais opostos. - Bissecção não se aplica.
- Precisa de um intervalo
-
Newton:
- Requer
próximo da raiz e um chute inicial razoável. - Calculando
em todo , então é positivo e bem longe de zero. - Em teoria Newton poderia convergir a alguma raiz, mas como não há raiz em
, o método vai “pular” para valores negativos ou divergir – não resolve nada no domínio pedido.
- Requer
-
Secante:
- Parecido com Newton, precisa de dois chutes iniciais
e pressupõe que a reta secante vá cruzar o eixo . - Mas se
não muda de sinal em , a formulação da secante não encontra nenhum ponto de troca de sinal ali. - Também não há raiz em
.
- Parecido com Newton, precisa de dois chutes iniciais
Resposta
A função
é sempre positiva para todo
, logo não existe raiz no intervalo considerado. Por isso nenhum dos três métodos (bissecção, Newton ou secante) consegue encontrar um ponto onde
em
.