Encontre a(s) raiz(es) para uma tolerância de 10^-4 usando os métodos da bissecção, Newton e secante, no intervalo especificado:
f(x)=20 x-e^-x^2+2, x>0.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.

Passo 1

Beleza, primeiro vamos entender o que a questão pede.
Temos a função
f(x)=20,x - e^-x^2 + 2, x>0
e queremos achar a(s) raiz(es) com tolerância usando três métodos: bissecção, Newton e secante.
Para isso vamos precisar de:
  • Noções de continuidade e sinal de uma função (pra ver se bissecção se aplica).
  • Derivada (pra Newton).
  • Uma estratégia de chute inicial (pra Newton e secante).
  • Tolerância e critério de parada.

Passo 2

Antes de sair calculando, a gente sempre verifica se existe raiz em f(0)=20cdot0 - e^0+2 = -1 +2 = +1 .
  1. Avalia em 20x>0, e^-x^2in(0,1], +2>0 ;Longrightarrow; 20x - e^-x^2 +2 > 0 -1 +2 =+1 :
  1. Para todo , note que
Ou seja, é sempre maior que zero para todo (aliás é crescente porque sua derivada é sempre positiva, veja no próximo passo).
Isso significa que não há mudança de sinal em e, portanto, não existe raiz em .

Passo 3

Vamos agora checar as condições de cada método de verdade:
  1. Bissecção:
    • Precisa de um intervalo f'(x)=20 ;+; 2x,e^-x^2;>;20 com .
    • Aqui para todo , então nunca encontramos com sinais opostos.
    • Bissecção não se aplica.
  2. Newton:
    • Requer próximo da raiz e um chute inicial razoável.
    • Calculando em todo , então é positivo e bem longe de zero.
    • Em teoria Newton poderia convergir a alguma raiz, mas como não há raiz em , o método vai “pular” para valores negativos ou divergir – não resolve nada no domínio pedido.
  3. Secante:
    • Parecido com Newton, precisa de dois chutes iniciais e pressupõe que a reta secante vá cruzar o eixo .
    • Mas se não muda de sinal em , a formulação da secante não encontra nenhum ponto de troca de sinal ali.
    • Também não há raiz em .

Resposta

A função é sempre positiva para todo , logo não existe raiz no intervalo considerado. Por isso nenhum dos três métodos (bissecção, Newton ou secante) consegue encontrar um ponto onde em .

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