Encontre as raízes das funções abaixo
f(x)=2 x-3 x, I=[0,3 ; 0,6], \quad \varepsilon=0,05

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes da função
f(x)=2^x-3x
usando o método da bisseção nos dois intervalos
I1=[0,3]e I2=[3,6]
com critério de parada dado pela largura do intervalo menor que varepsilon=0,05.

Passo 2

Verificamos a existência de pelo menos uma raiz em cada intervalo pela troca de sinal de f:
f(0)=2^0-0=1>0, f(3)=2^3-9=8-9=-1<0Longrightarrowraiz em I1,
f(3)=-1<0, f(6)=2^6-18=64-18=46>0Longrightarrowraiz em I2

Passo 3

Aplicamos bisseção em I1=[0,3]. Em cada iteração calculamos
mk=ak-1+bk-12, e trocamos [ak-1,bk-1] pelo subintervalo onde f muda de sinal,
até lvert bk-akrvert<0,05.
  1. a0=0, b0=3,
    m1=1,5,
    f(m1)=2^1,5-4,5approx-1,6716<0 ;Rightarrow[0,1,5].
  2. a1=0, b1=1,5,
    m2=0,75,
    f(m2)approx-0,5682<0 ;Rightarrow[0,0,75].
  3. a2=0, b2=0,75,
    m3=0,375,
    f(m3)approx0,1718>0 ;Rightarrow[0,375,0,75].
  4. a3=0,375, b3=0,75,
    m4=0,5625,
    f(m4)approx-0,2117<0 ;Rightarrow[0,375,0,5625].
  5. a4=0,375, b4=0,5625,
    m5=0,46875,
    f(m5)approx-0,0237<0 ;Rightarrow[0,375,0,46875].
  6. a5=0,375, b5=0,46875,
    m6=0,421875,
    f(m6)approx0,0720>0 ;Rightarrow[0,421875,0,46875],
    e lvert0,46875-0,421875rvert=0,046875<0,05.
    Assim, a raiz aproximada em I1 é
x1approx m6=0,4453125

Passo 4

Agora bisseção em I2=[3,6]:
  1. a0=3, b0=6,
    m1=4,5,
    f(m1)approx9,127>0 ;Rightarrow[3,4,5].
  2. a1=3, b1=4,5,
    m2=3,75,
    f(m2)approx2,204>0 ;Rightarrow[3,3,75].
  3. a2=3, b2=3,75,
    m3=3,375,
    f(m3)approx0,306>0 ;Rightarrow[3,3,375].
  4. a3=3, b3=3,375,
    m4=3,1875,
    f(m4)approx-0,5335<0 ;Rightarrow[3,1875,3,375].
  5. a4=3,1875, b4=3,375,
    m5=3,28125,
    f(m5)approx-0,1398<0 ;Rightarrow[3,28125,3,375].
  6. a5=3,28125, b5=3,375,
    m6=3,328125,
    f(m6)approx0,0726>0 ;Rightarrow[3,28125,3,328125],
    e lvert3,328125-3,28125rvert=0,046875<0,05.
    Logo, a raiz aproximada em I2 é
x2approx m6=3,3046875

Resposta

x1approx0,4453 e x2approx3,3047.

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