Encontre as raízes dos seguintes polinomios:
p(x)=2 x^3+9 x^2+15 x+9

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra achar as raízes do polinômio
p(x) = 2x^3 + 9x^2 + 15x + 9
Isso é cálculo de raízes de polinômios (a matéria de Equações Polinomiais). Vamos usar:
  1. Teorema das raízes racionais (testar candidatos)
  2. Divisão sintética (para reduzir pra um polinômio de grau 2)
  3. Fórmula de Bhaskara (pra resolver a parte quadrática).

Passo 2

Primeiro, listamos as possíveis raízes racionais pelo Teorema das Raízes Racionais:
possíveis x = pm divisores de 9divisores de 2 = pm1,3,9,tfrac12,tfrac32,tfrac92 í
A gente testa uma por uma até achar uma que zere pl(-tfrac32r) =2l(-tfrac32r)^3 + 9l(-tfrac32r)^2 + 15l(-tfrac32r) +9 . Vamos tentar 2l(-tfrac278r) + 9l(tfrac94r) - tfrac452 +9 = -tfrac548 + tfrac814 - tfrac452 +9 = -tfrac274 + tfrac814 - tfrac904 + tfrac364 = 0 :
Calculando:
Então é raiz!

Passo 3

Agora a gente faz a divisão sintética de p(x) = l(x + tfrac32r),(2x^2 + 6x +6) por pra fatorar.
Coeficientes: . Colocando na linha de teste:
   -1,5 |  2    9    15    9
         |       -3    6   -9
         --------------------
           2    6    6    0
Isso mostra que

Passo 4

Restou resolver 2x^2 + 6x +6 = 2l(x^2 +3x +3r) = 0 ;Longrightarrow; x^2 +3x +3 =0 . Primeiro fatoramos o 2:
x = -3 pm raiz3^2 -4cdot1cdot32 = -3 pm raiz9 -122 = -3 pm raiz-32 = -3 pm iraiz32
Usamos a fórmula de Bhaskara:

Resposta

As raízes de x = -tfrac32, x = -3 + iraiz32, x = -3 - iraiz32 são

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