Encontre a série de potência de
(a) arctan (x^2), sabendo que arctan ^prime(x)=11+x^2.

Passo 1

O que a gente tem que fazer? Encontrar a série de potência de
arctanl(x^2r)
Isso cai em “séries de Taylor” (ou séries de potencia). A gente vai precisar de duas ideias básicas:
  1. a derivada ,
  2. a série geométrica
    (quando ),
    e depois integrar termo a termo para recuperar o .

Passo 2

Primeiro, monta a série de potências de 11+z^2 =11-(-z^2) =sumn=0^infty(-z^2)^n =sumn=0^infty(-1)^n,z^2n, .
Pega a forma geométrica com :
válido sempre que , ou seja .

Passo 3

Agora integramos essa série de 0 até arctan(x)-arctan(0) =integral0^x11+z^2,dz =integral0^xsumn=0^infty(-1)^n z^2n,dz =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^xz^2ndz para obter arctan(x) =sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+12n+1 :
Integrando , logo

Passo 4

Por fim, para achar arctan(x^2) =sumn=0^infty(-1)^n,(x^2)^2n+12n+1 =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+22n+1 a gente faz a substituição na série acima:

Resposta

boxed arctan(x^2) =sumn=0^infty(-1)^n ,x^4n+22n+1, |x|<1

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