1. Encontre uma representação em série de potências para \frac{x^{3}}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências (Maclaurin) para
f(x)=\frac{x^{3}}{x+2}.
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos precisar usar a expansão geométrica
\displaystyle \frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n} válida para \lvert u\rvert<1.

Passo 2

Começamos isolando a parte que cabe na forma geométrica. Observe que
\frac{x^{3}}{x+2} = x^{3}\,\frac{1}{2}\,\frac{1}{1 + \frac{x}{2}} =\frac{x^{3}}{2}\,\frac{1}{1 + \frac{x}{2}}.

Passo 3

Aplicamos a série geométrica com u = \frac{x}{2}. Para \lvert x/2\rvert<1 (ou seja, \lvert x\rvert<2), vale
\frac{1}{1 + \frac{x}{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n}.

Passo 4

Multiplicando por \tfrac{x^{3}}{2}, obtemos
\frac{x^{3}}{x+2} =\frac{x^{3}}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+3}}{2^{\,n+1}}.

Passo 5

Se preferir reindexar deixando o expoente começando em k=3, defina k=n+3. Então
\frac{x^{3}}{x+2} =\sum_{k=3}^{\infty}(-1)^{\,k-3}\,\frac{x^{k}}{2^{\,k-2}},
válido para \lvert x\rvert<2.

Resposta

\boxed{\frac{x^{3}}{x+2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{n+3}}{2^{\,n+1}},\quad |x|<2.}

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