Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de f(x)=2 \operatorname{sen}(\sqrt{x})-x
Use a aproximação inicial x_{0}=0,5 e itere até \varepsilon_{a} \leq 0,001 \%. Verifique que o processo é linearmente convergente, como descrito no Quadro 6.1.

Passo 1

O problema pede para encontrar a raiz de
f(x)=2\operatorname{sen}(\sqrt{x})-x
usando iteração de ponto-fixo simples. O conteúdo é o método de ponto-fixo, em que escrevemos a equação f(x)=0 como
x=g(x)
e iteramos x_{n+1}=g(x_n) a partir de x_0=0{,}5 até que o erro aproximado relativo satisfaça
\varepsilon_a\le0{,}001\%.

Passo 2

Escolhemos
\;g(x)=2\operatorname{sen}(\sqrt{x}),
pois da condição f(x)=0 vem x=2\operatorname{sen}(\sqrt{x}). Para garantir convergência, verificamos a derivada
g'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(2\operatorname{sen}(\sqrt{x})\bigr) =2\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}.
Próximo à raiz r\approx1{,}97, temos \bigl|g'(r)\bigr|<1, condição suficiente para convergência local linear.

Passo 3

Agora iteramos a partir de x_0=0{,}5. Em cada passo calculamos
x_{n+1}=g(x_n) \quad\text{e}\quad \varepsilon_{a,n} =\frac{\lvert x_{n+1}-x_n\rvert}{\lvert x_{n+1}\rvert}\times100\%.

Passo 4

Cálculo das iteradas e dos erros aproximados:
\begin{aligned} x_1&=2\operatorname{sen}(\sqrt{0{,}5})\approx1{,}2993, & \varepsilon_{a,1}&\approx61{,}5\%,\\\ x_2&=2\operatorname{sen}(\sqrt{1{,}2993})\approx1{,}8156, & \varepsilon_{a,2}&\approx28{,}4\%,\\\ x_3&=2\operatorname{sen}(\sqrt{1{,}8156})\approx1{,}9495, & \varepsilon_{a,3}&\approx6{,}9\%,\\\ x_4&=2\operatorname{sen}(\sqrt{1{,}9495})\approx1{,}9700, & \varepsilon_{a,4}&\approx1{,}06\%,\\\ x_5&=2\operatorname{sen}(\sqrt{1{,}9700})\approx1{,}9734, & \varepsilon_{a,5}&\approx0{,}17\%,\\\ x_6&=2\operatorname{sen}(\sqrt{1{,}9734})\approx1{,}9740, & \varepsilon_{a,6}&\approx0{,}034\%,\\\ x_7&=2\operatorname{sen}(\sqrt{1{,}9740})\approx1{,}9743, & \varepsilon_{a,7}&\approx0{,}013\%,\\\ x_8&=2\operatorname{sen}(\sqrt{1{,}9743})\approx1{,}9744, & \varepsilon_{a,8}&\approx0{,}0046\%,\\\ x_9&=2\operatorname{sen}(\sqrt{1{,}9744})\approx1{,}97443, & \varepsilon_{a,9}&\approx0{,}0016\%,\\\ x_{10}&=2\operatorname{sen}(\sqrt{1{,}97443})\approx1{,}97445, & \varepsilon_{a,10}&\approx0{,}00076\%. \end{aligned}
No passo 10 obtivemos \varepsilon_{a,10}<0{,}001\%, logo paramos aqui.

Passo 5

Para verificar convergência linear, calculamos
g'(r)\approx\frac{\cos(\sqrt{1{,}97445})}{\sqrt{1{,}97445}} \approx0{,}12.
De fato, as razões \varepsilon_{a,n+1}/\varepsilon_{a,n} tendem a um valor em torno de 0{,}12, caracterizando convergência linear com taxa \approx|g'(r)|<1.

Resposta

A raiz aproximada é
x\approx1{,}97445,
obtida em 10 iterações, e o método converge linearmente com constan­te \approx0{,}12<1.

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