Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de f(x)=2 \operatorname{sen}(\sqrt{x})-x
Use a aproximação inicial x_{0}=0,5 e itere até \varepsilon_{a} \leq 0,001 \%. Verifique que o processo é linearmente convergente, como descrito no Quadro 6.1.
Passo 1
O problema pede para encontrar a raiz de
f(x)=2\operatorname{sen}(\sqrt{x})-x
usando iteração de ponto-fixo simples. O conteúdo é o método de ponto-fixo, em que escrevemos a equação f(x)=0 como
x=g(x)
e iteramos x_{n+1}=g(x_n) a partir de x_0=0{,}5 até que o erro aproximado relativo satisfaça
\varepsilon_a\le0{,}001\%.
Passo 2
Escolhemos
\;g(x)=2\operatorname{sen}(\sqrt{x}),
pois da condição f(x)=0 vem x=2\operatorname{sen}(\sqrt{x}). Para garantir convergência, verificamos a derivada
De fato, as razões \varepsilon_{a,n+1}/\varepsilon_{a,n} tendem a um valor em torno de 0{,}12, caracterizando convergência linear com taxa \approx|g'(r)|<1.
Resposta
A raiz aproximada é
x\approx1{,}97445,
obtida em 10 iterações, e o método converge linearmente com constante \approx0{,}12<1.