Encontre a(s) raiz(es) para uma tolerância de 10^-4 usando os métodos da bissecção, Newton e secante, no intervalo especificado:
f(x)=ln x+x, 0.1 <= x <= 1.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.

Passo 1

Beleza, o exercício manda a gente achar a raiz de
f(x)=ln x + x
no intervalo com tolerância , usando três métodos: bissecção, Newton e secante.
Matéria: Métodos Numéricos (raiz de equações).
O que precisamos:
- Saber que raiz é o tal que .
- Para bissecção, verificar e que é contínua.
- Para Newton, usar e garantir que .
- Para secante, usar a fórmula que só precisa de valores de .
Pronto, agora bora resolver!

Passo 2

Método da bissecção
  1. Teoria rápida: se N>= lceil log21-0.110^-4rceil =lceillog2(9000)rceilapprox 14 e xbisapprox 0.5671, é contínua em , existe raiz. A cada iteração você corta o intervalo ao meio e escolhe o subintervalo onde o sinal muda. Para parar, basta que o tamanho do intervalo seja menor que a tolerância.
  2. Checagem:

    • Logo , beleza.
  3. Número de iterações:
  4. Depois de 14 cortes, obtemos com .

Passo 3

Método de Newton
  1. Teoria: usamos a reta tangente em xk+1=xk - f(xk)f'(xk) para achar xNewtapprox0.5671 via Aqui , que nunca zera para .
  2. Escolha de chute inicial: .
  3. Iterações:
    • .
    • .
    • .
    • , e aí .
  4. Convergiu rápido:

Passo 4

Método da secante
  1. Teoria: é parecido com Newton, mas a reta passa por xk+1=xk - f(xk),xk - xk-1f(xk)-f(xk-1) e xsecapprox0.5672 . A fórmula é
  2. Chutes iniciais: , .
  3. Iterações (resumido):
    • ,
    • ,
    • ,
    • , com .
  4. Convergência em ~5 iterações:

Resposta

A única raiz em com tolerância é cerca de
  • Bissecção:
  • Newton:
  • Secante:

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