Use os métodos de Newton e da Secante para encontrar soluções precisas dentro de
para os seguintes problemas.
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos achar a raiz da equação
no intervalo com precisão
, usando dois métodos numéricos:
no intervalo
- Método de Newton (que precisa da derivada
). - Método da Secante (que só precisa de duas aproximações iniciais).
Para isso você vai ver:
- a definição de
e , - a fórmula iterativa de cada método,
- como parar quando a diferença entre duas iterações for menor que
.
Passo 2
Método de Newton
- Definimos
- A fórmula iterativa é
-
Escolhemos palpite inicial
. A cada passo calculamos , e o novo . - n=0:
,
. - n=1:
,
. - n=2:
,
. - n=3:
,
. - n=4:
,
.
Aí. Ainda não é , mas você repetiria mais uma ou duas vezes até .
Pronto: converge para
com a tolerância pedida. - n=0:
Passo 3
Método da Secante
- Fórmula iterativa (não precisa de derivada):
-
Escolhemos
e . Sabemos , . -
Iteramos:
- n=1 → n=2:
- n=2 → n=3:
- n=3 → n=4:
- n=4 → n=5:
Nesse ponto . Repetindo até dá
- n=1 → n=2:
Resposta
Ambos os métodos (Newton e Secante) convergem para a raiz aproximadamente
dentro da precisão .
dentro da precisão