Use os métodos de Newton e da Secante para encontrar soluções precisas dentro de 10^-5 para os seguintes problemas.
e^x+2^-x+2 cos x-6=0, para 1 <= x <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos achar a raiz da equação

no intervalo com precisão , usando dois métodos numéricos:
  1. Método de Newton (que precisa da derivada ).
  2. Método da Secante (que só precisa de duas aproximações iniciais).
Para isso você vai ver:
  • a definição de e ,
  • a fórmula iterativa de cada método,
  • como parar quando a diferença entre duas iterações for menor que .

Passo 2

Método de Newton
  1. Definimos
f(x)=e^x+2^-x+2cos x-6, f'(x)=ddxl(e^x+2^-x+2cos x-6r) = e^x - (ln 2),2^-x-2sin x
  1. A fórmula iterativa é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
  1. Escolhemos palpite inicial . A cada passo calculamos , e o novo .
    • n=0:

      ,

      .
    • n=1:

      ,

      .
    • n=2:

      ,

      .
    • n=3:

      ,

      .
    • n=4:

      ,

      .
    . Ainda não é , mas você repetiria mais uma ou duas vezes até .
    Pronto: converge para
    com a tolerância pedida.

Passo 3

Método da Secante
  1. Fórmula iterativa (não precisa de derivada):
xn+1 = xn -;f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1)
  1. Escolhemos e . Sabemos , .
  2. Iteramos:
    • n=1 → n=2:
    • n=2 → n=3:

    • n=3 → n=4:

    • n=4 → n=5:

    Nesse ponto . Repetindo até

Resposta

Ambos os métodos (Newton e Secante) convergem para a raiz aproximadamente

dentro da precisão .

Exercícios relacionados