Use os métodos de Newton e da Secante para encontrar soluções precisas dentro de 10^-5 para os seguintes problemas.
2 x cos 2 x-(x-2)^2=0, para 2 <= x <= 3 e 3 <= x <= 4.

Passo 1

Beleza, a ideia aqui é achar as raízes da função
f(x)=2xcos(2x)-(x-2)^2
nos dois intervalos xn+1=xn-f(xn)f'(xn) e xn+2=xn+1-f(xn+1)xn+1-xnf(xn+1)-f(xn), usando dois métodos numéricos: Newton e Secante, com precisão de .
Conteúdo envolvido:
- Como derivar a função (pra Newton).
- Fórmula iterativa do método de Newton:

- Fórmula iterativa do método da Secante:

Precisamos de: a fórmula de , sua derivada e escolher chutes iniciais razoáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função para usar no método de Newton.
Temos
f(x)=2xcos(2x)-(x-2)^2
Para f'(x)=2cos(2x)-4xsin(2x)-2(x-2) usamos produto e cadeia:
  • Derivada de :
  • Derivada de é .
    Logo
Agora as fórmulas iterativas:
Newton: .
Secante: .

Passo 3

Método de Newton em x1=2,5-1,168309,1565=2,3724 .
Escolho x2=2,3724-0,022808,806=2,3698 .
  1. Calculo x3approx2,36980, , .
  2. Calculo , .
  3. Na próxima iteração a diferença .
    Com mais uma iteração chega-se em e .

Passo 4

Método da Secante em x2=3-;4,7600;3-24,7600-(-2,6139)=2,3544 .
Chutes iniciais: x3=2,3544-l(-0,1199r)2,3544-3-0,1199-4,7600=2,3703 , x4approx2,37023, .
  1. .
  2. .
  3. Nova iteração dá com diferença menor que .

Passo 5

Método de Newton em x1=3,5-3,0273-10,690=3,7833 .
Escolho x2=3,7833--1,0112-17,496=3,7256 .
  1. x4approx3,72027, .
  2. Calculo em , vem .
  3. Mais duas iterações levam a com .

Passo 6

Método da Secante em x2=3,8-l(-1,3150r)3,8-3,7-1,3150-0,3508=3,72107 .
Para acelerar, escolho x3=3,72107--0,0021(-0,0021)-(-1,3150)(3,72107-3,8) approx3,72094 , x4approx3,72027, .
  1. .
  2. .
  3. A diferença .
    Com mais uma iteração chega-se a dentro de .

Resposta

  • Intervalo [2,3]:
    • Newton:
    • Secante:
  • Intervalo [3,4]:
    • Newton:
    • Secante:

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