Encontre a(s) raiz(es) para uma tolerância de 10^-4 usando os métodos da bissecção, Newton e secante, no intervalo especificado:
f(x)=(x+1)-e^-x^2, 0 <= x <= 1.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.

Passo 1

Então, a gente tem a função
f(x) = (x+1) - e^-x^2, xin[0,1],
e quer achar a raiz com precisão pelos métodos da bissecção, de Newton e da secante.
Conteúdo: métodos numéricos de localização de raízes. Vamos precisar de:
  • Verificar se dá pra usar cada método (continuidade e mudança de sinal, derivada não nula, etc.).
  • Derivar pra Newton.
  • Iterar até ter erro menor que .

Passo 2

Verificação de condições:
  1. Continuidade: f(0) = 1 - e^0 = 0, f(1) = 2 - e^-1 approx 1.632 > 0 é combinação de funções contínuas, logo contínua em .
  2. Sinal nos extremos: Para bissecção a gente precisa . Aqui , não muda de sinal – mas note que já temos , então é raiz exata.

Passo 3

Método da bissecção
Como vimos, xbis = 0 já nos dá a raiz. Não há intervalo com mudança de sinal estrita em , então não conseguimos aplicar a bissecção de fato. Mas concluímos imediatamente que

Passo 4

Método de Newton
  1. Derivada:
    f'(x) = 1 + 2x,e^-x^2
  2. Escolho chute inicial, digamos xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) .
  3. Itero pela fórmula
    f(1)=2-e^-1approx1.632, f'(1)=1+2e^-1approx1.736
    • x1 = 1 - 1.6321.736 approx 0.06097 : f(x1)approx0.0636, f'(x1)approx1.1196 x2 = x1 - 0.06361.1196 approx 0.00319 f(x2)approx0.00319, f'(x2)approx1.0064
    • x3 = x2 - 0.003191.0064 approx 1.0times10^-5 : x4 approx 2times10^-10, |x4-x3|approx1.0times10^-5<10^-4 xNewtonapprox2times10^-10approx0 (até 10^-4)
    • :
    Agora , ainda maior que . Faço mais uma iteração:
    • :
    Ou seja, converge pra zero.
    Assim,
    é

Passo 5

Método da secante
  1. Escolho dois chutes iniciais distintos em xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1) , por ex. xsecanteapprox5times10^-7<10^-4 , .
  2. Fórmula da secante:
  3. Iterando rapidamente (resumido):
    • (aqui passa pra negativo, mas depois volta pra próximo de zero)
    • Em algumas iterações chega muito perto de .
    Numericamente, depois de umas 6–7 iterações,

Resposta

Bissecção: não aplicável para mudança de sinal, mas já vimos boxedx=0 , logo .
Newton: converge a .
Secante: converge a .
Em todos os métodos, a raiz em é

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