Encontre a(s) raiz(es) para uma tolerância de
usando os métodos da bissecção, Newton e secante, no intervalo especificado:
.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.
Passo 1
Então, a gente tem a função
e quer achar a raiz com precisão
pelos métodos da bissecção, de Newton e da secante.
Conteúdo: métodos numéricos de localização de raízes. Vamos precisar de:
Conteúdo: métodos numéricos de localização de raízes. Vamos precisar de:
- Verificar se dá pra usar cada método (continuidade e mudança de sinal, derivada não nula, etc.).
- Derivar
pra Newton. - Iterar até ter erro menor que
.
Passo 2
Verificação de condições:
- Continuidade:
é combinação de funções contínuas, logo contínua em . - Sinal nos extremos:
Para bissecção a gente precisa . Aqui , não muda de sinal – mas note que já temos , então é raiz exata.
Passo 3
Método da bissecção
Como vimos, já nos dá a raiz. Não há intervalo com mudança de sinal estrita em
, então não conseguimos aplicar a bissecção de fato. Mas concluímos imediatamente que
Como vimos,
Passo 4
Método de Newton
-
Derivada:
-
Escolho chute inicial, digamos
. -
Itero pela fórmula
-
: -
: -
:
Agora, ainda maior que . Faço mais uma iteração: -
:
Ou seja, converge pra zero.Assim, -
Passo 5
Método da secante
-
Escolho dois chutes iniciais distintos em
, por ex. , . -
Fórmula da secante:
-
Iterando rapidamente (resumido):
-
-
(aqui passa pra negativo, mas depois volta pra próximo de zero) - Em algumas iterações chega muito perto de
.
Numericamente, depois de umas 6–7 iterações, -
Resposta
Bissecção: não aplicável para mudança de sinal, mas já vimos
, logo
.
Newton: converge a .
Secante: converge a .
Newton: converge a
Secante: converge a
Em todos os métodos, a raiz em
é