Use os métodos de Newton e da Secante para encontrar soluções precisas dentro de
para os seguintes problemas.
, para
e
.
Passo 1
Beleza, aqui o que a gente precisa fazer é achar as raízes da função
nos três pedaços de intervalo
,
e
, usando dois jeitos:
- Método de Newton
- Método da Secante
E queremos que o erro na abscissa seja menor que.
O assunto é “métodos numéricos de raiz” e vamos precisar de:
- A fórmula do Newton
e da Secante - Saber derivar
, ou seja . - Escolher palpites iniciais em cada intervalo.
Passo 2
Método de Newton – teoria na prática
- A ideia é linearizar
em torno de e usar a reta tangente para achar . - Fórmula:
- Aqui
. - A gente para quando
.
Passo 3
Método da Secante – teoria na prática
- Em vez de calcular
, aproximamos a derivada por diferença:f'(xn)approx f(xn)-f(xn-1)xn-xn-1
- Aí a iteração fica
- Precisamos de dois palpites iniciais
e . - Novamente, critério de parada
.
Passo 4
Intervalo [0,1] – Newton
- Escolhi
. - Iterações (resumo):
- n=0:
, ,
⇒ - n=1:
, ,
⇒ - n=2:
, diferença - n=3:
, diferença
- n=0:
- Convergiu pra
.
Passo 5
Intervalo [0,1] – Secante
- Usei
e . - Iterações (resumo):
- n=1: aplica fórmula ⇒
- n=2: atualiza par (1,2) ⇒
- n=3:
, diferença
- n=1: aplica fórmula ⇒
- Dá a mesma raiz
.
Passo 6
Intervalo [3,4] – Newton
- Escolhi
. - Iterações:
- n=0:
,
⇒ - n=1:
,
⇒ - n=2: diferença
- n=3: converge pra
(dentro de ).
- n=0:
Passo 7
Intervalo [3,4] – Secante
- Usei
, . - Iterações (resumo):
- n=1:
- n=2:
- n=3: diferença
.
- n=1:
- Raiz
.
Passo 8
Intervalo [6,7] – Newton
- Escolhi
. - Iterações:
- n=0:
,
⇒ - n=1:
,
⇒ - n=2: converge bem rápido, e em
já está com erro .
- n=0:
- Raiz
.
Passo 9
Intervalo [6,7] – Secante
- Usei
, . - Iterações (resumo):
- n=1:
- n=2:
- n=3: diferença
.
- n=1:
- Raiz
.
Resposta
As raízes de
com precisão
são:
- No intervalo [0,1]:
• Newton e Secante ⇒ - No intervalo [3,4]:
• Newton e Secante ⇒ - No intervalo [6,7]:
• Newton e Secante ⇒