Use os métodos de Newton e da Secante para encontrar soluções precisas dentro de 10^-5 para os seguintes problemas.
sin x-e^-x=0, para 0 <= x <= 1 3 <= x <= 4 e 6 <= x <= 7.

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente precisa fazer é achar as raízes da função
f(x)=sin x - e^-x
nos três pedaços de intervalo , e , usando dois jeitos:
  1. Método de Newton
  2. Método da Secante
    E queremos que o erro na abscissa seja menor que .
    O assunto é “métodos numéricos de raiz” e vamos precisar de:
  • A fórmula do Newton e da Secante
  • Saber derivar , ou seja .
  • Escolher palpites iniciais em cada intervalo.

Passo 2

Método de Newton – teoria na prática
  1. A ideia é linearizar xn+1 ;=; xn ;-;f(xn)f'(xn) em torno de e usar a reta tangente para achar .
  2. Fórmula:
  1. Aqui .
  2. A gente para quando .

Passo 3

Método da Secante – teoria na prática
  1. Em vez de calcular f'(xn)approx f(xn)-f(xn-1)xn-xn-1 , aproximamos a derivada por diferença:
xn+1 =;xn ;-; f(xn),xn-xn-1f(xn)-f(xn-1)
  1. Aí a iteração fica
  1. Precisamos de dois palpites iniciais e .
  2. Novamente, critério de parada .

Passo 4

Intervalo [0,1] – Newton
  1. Escolhi .
  2. Iterações (resumo):
    • n=0: , ,
    • n=1: , ,
    • n=2: , diferença
    • n=3: , diferença
  3. Convergiu pra .

Passo 5

Intervalo [0,1] – Secante
  1. Usei e .
  2. Iterações (resumo):
    • n=1: aplica fórmula ⇒
    • n=2: atualiza par (1,2) ⇒
    • n=3: , diferença
  3. Dá a mesma raiz .

Passo 6

Intervalo [3,4] – Newton
  1. Escolhi .
  2. Iterações:
    • n=0: ,
    • n=1: ,
    • n=2: diferença
    • n=3: converge pra (dentro de ).

Passo 7

Intervalo [3,4] – Secante
  1. Usei , .
  2. Iterações (resumo):
    • n=1:
    • n=2:
    • n=3: diferença .
  3. Raiz .

Passo 8

Intervalo [6,7] – Newton
  1. Escolhi .
  2. Iterações:
    • n=0: ,
    • n=1: ,
    • n=2: converge bem rápido, e em já está com erro .
  3. Raiz .

Passo 9

Intervalo [6,7] – Secante
  1. Usei , .
  2. Iterações (resumo):
    • n=1:
    • n=2:
    • n=3: diferença .
  3. Raiz .

Resposta

As raízes de com precisão são:
  • No intervalo [0,1]:
    • Newton e Secante ⇒
  • No intervalo [3,4]:
    • Newton e Secante ⇒
  • No intervalo [6,7]:
    • Newton e Secante ⇒

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