Encontre a série de potência de
(b) arcsen x, usando arcsen^prime x=1raiz1-x^2 e a série binomial (1+x)^k=1+k x+k(k-1)2! x^2+k(k-1(k-2)3! x^3+cdots

Passo 1

Beleza, o que o exercício pede é achar a série de potência (Maclaurin) de
Usando duas coisas:
  1. A derivada .
  2. A série binomial
arcsen(x)
Conteúdo usado: expansão em série de potências e integração termo a termo. Vamos precisar expandir (1+u)^k ;=; 1 + k,u + k(k-1)2!u^2 + k(k-1)(k-2)3!u^3 + cdots e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a série binomial com (1 - x^2)^-tfrac12 =sumn=0^inftybinom-tfrac12n(-x^2)^n e binom-tfrac12n =(-tfrac12)(-tfrac12-1)cdots(-tfrac12 - n +1)n! =(-1)^n(2n)!4^n,(n!)^2, :
arcsen'(x) =1raiz1-x^2 =sumn=0^infty (2n)!4^n,(n!)^2;x^2n
Lembrando que
vem então

Passo 3

Agora integramos termo a termo para voltar de a :
integral x^2n,dx=x^2n+12n+1
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Passo 4

Para achar a constante , usamos .
No lado direito, se , todo somatório some zero, então .

Resposta

Ou, mostrando os primeiros termos:

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