Enuncie e demonstre o Teorema de Sanduiche para sequências.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente enunciar e provar o Teorema do Sanduíche (ou do Confronto) para sequências. Isso faz parte de limites de sequências em Análise Matemática.
O que vamos precisar:
  • A ideia de limite de sequência via definição ε–N.
  • A propriedade de comparação: se , a gente consegue “encher” entre e .

Passo 2

Enunciação do Teorema do Sanduíche para sequências:
Sejam an ;<=; bn ;<=; cn , limntoinfty an ;=; L e limntoinfty cn ;=; L e limntoinfty bn ;=; L três sequências reais. Suponha que existe um índice tal que, para todo ,
e que
Então

Passo 3

Demonstração (usando a definição ε–N):
  1. Como |an - L| < epsilon , para qualquer ε>0 existe |cn - L| < epsilon tal que, se an <= bn <= cn, |an - L| < epsilon, |cn - L| < epsilon , então an - L ;<=; bn - L ;<=; cn - L
  2. Como -epsilon < bn - L < epsilon ;Longrightarrow; |bn - L| < epsilon , para qualquer ε>0 existe tal que, se , então
  3. Definimos . A partir de a gente tem simultaneamente:
  4. Da desigualdade subtraímos : E pelos itens 1 e 2
    e .
    Então
  5. Isso mostra que, para todo ε>0, existe tal que, para , .
    Logo, por definição, .

Resposta

Teorema do Sanduíche para sequências:
Se a partir de certo índice e
, então

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