Enuncie e demonstre o Teorema de Sanduiche para sequências.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente enunciar e provar o Teorema do Sanduíche (ou do Confronto) para sequências. Isso faz parte de limites de sequências em Análise Matemática.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A ideia de limite de sequência via definição ε–N.
- A propriedade de comparação: se
, a gente consegue “encher” entre e .
Passo 2
Enunciação do Teorema do Sanduíche para sequências:
Sejam ,
e
três sequências reais. Suponha que existe um índice
tal que, para todo
,
Sejam
e que
Então
Passo 3
Demonstração (usando a definição ε–N):
- Como
, para qualquer ε>0 existe tal que, se , então - Como
, para qualquer ε>0 existe tal que, se , então - Definimos
. A partir de a gente tem simultaneamente: - Da desigualdade
subtraímos : E pelos itens 1 e 2
e .
Então - Isso mostra que, para todo ε>0, existe
tal que, para , .
Logo, por definição,.
Resposta
Teorema do Sanduíche para sequências:
Se a partir de certo índice e
, então
Se