e o objetivo é descobrir pra que valores de essa série converge. O assunto é Séries de Potências e, em particular, vamos usar o Teste da Razão (ou Critério de D’Alembert) para encontrar o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Vamos chamar o termo geral de
O Teste da Razão diz que a série converge se
e diverge se esse limite passar de 1. Vamos calcular:
an+1an =(n+1)!,x^,n+1n!,x^n =(n+1),|x|
Então
L=limntoinfty(n+1),|x|
Passo 3
Agora, observando esse limite:
Se , então quando . Isso significa , logo diverge.
Se , ou seja , cada termo vale zero (exceto talvez o , mas não faz diferença). A série fica , que obviamente converge.
Resposta
A série converge somente em . O intervalo de convergência é .