Determine o intervalo de convergência
a) sum n!x^n

Passo 1

Então, parceiro, a gente tem a série
sumn=0^infty n!,x^n
e o objetivo é descobrir pra que valores de essa série converge. O assunto é Séries de Potências e, em particular, vamos usar o Teste da Razão (ou Critério de D’Alembert) para encontrar o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Vamos chamar o termo geral de
an = n!,x^n
O Teste da Razão diz que a série converge se
L ;=;limntoinfty|an+1an| ;<;1
e diverge se esse limite passar de 1. Vamos calcular:
an+1an =(n+1)!,x^,n+1n!,x^n =(n+1),|x|
Então
L=limntoinfty(n+1),|x|

Passo 3

Agora, observando esse limite:
  • Se , então quando . Isso significa , logo diverge.
  • Se , ou seja , cada termo vale zero (exceto talvez o , mas não faz diferença). A série fica , que obviamente converge.

Resposta

A série converge somente em . O intervalo de convergência é .

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