Obtenha as duas soluções da EDO seguinte e a resolva:
x^{\prime \prime}-10 x^{\prime}+41 x=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
x''-10x'+41x=0.
O que é pedido:
Encontrar as duas soluções independentes da EDO (duas soluções fundamentais).
Resolver a EDO, isto é, escrever a solução geral (combinação linear das duas soluções fundamentais).
Informações relevantes dadas:
Coeficientes constantes: termo de segunda derivada com coeficiente 1, termo de primeira derivada com coeficiente -10, termo de x com coeficiente 41.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos usar).
Uma técnica padrão para EDOs lineares com coeficientes constantes é buscar soluções da forma exponencial
x(t)=\mathrm{e}^{r t},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Por que essa forma? Porque ao derivar uma exponencial aparece novamente a mesma exponencial multiplicada por r ou r^2:
Substituindo essas expressões na EDO obtém-se uma equação algébrica para r — a chamada equação característica. Essa é a razão prática: a exponencial transforma a equação diferencial em uma equação polinomial em r.
Passo 3
Montar e resolver a equação característica.
Substituindo x=\mathrm{e}^{r t} na EDO:
Obter as duas soluções fundamentais complexas.
A partir das raízes r_{1}=5+4\mathrm{i} e r_{2}=5-4\mathrm{i} temos duas soluções complexas (fundamentais)
Essas duas são linearmente independentes (são conjugadas) e qualquer combinação linear complexa delas gera a família completa de soluções complexas.
Passo 5
Transformar para soluções reais usando a fórmula de Euler (obter as duas soluções reais).
Como a equação tem coeficientes reais, interessa-nos a solução real geral. Usamos a fórmula de Euler
Escrever a solução geral real da EDO.
Como a equação é linear e homogênea de segunda ordem, a solução geral real é uma combinação linear das duas soluções reais independentes: