Obtenha as duas soluções da EDO seguinte e a resolva:
x^{\prime \prime}-10 x^{\prime}+41 x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
x''-10x'+41x=0.
O que é pedido:
  • Encontrar as duas soluções independentes da EDO (duas soluções fundamentais).
  • Resolver a EDO, isto é, escrever a solução geral (combinação linear das duas soluções fundamentais).
Informações relevantes dadas:
  • Coeficientes constantes: termo de segunda derivada com coeficiente 1, termo de primeira derivada com coeficiente -10, termo de x com coeficiente 41.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos usar).
Uma técnica padrão para EDOs lineares com coeficientes constantes é buscar soluções da forma exponencial
x(t)=\mathrm{e}^{r t},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Por que essa forma? Porque ao derivar uma exponencial aparece novamente a mesma exponencial multiplicada por r ou r^2:
x'(t)=r\mathrm{e}^{r t},\qquad x''(t)=r^{2}\mathrm{e}^{r t}.
Substituindo essas expressões na EDO obtém-se uma equação algébrica para r — a chamada equação característica. Essa é a razão prática: a exponencial transforma a equação diferencial em uma equação polinomial em r.

Passo 3

Montar e resolver a equação característica.
Substituindo x=\mathrm{e}^{r t} na EDO:
r^{2}\mathrm{e}^{r t}-10r\mathrm{e}^{r t}+41\mathrm{e}^{r t}=0.
Como \mathrm{e}^{r t}\neq0 para todo t, podemos dividir por \mathrm{e}^{r t} e obter a equação característica
r^{2}-10r+41=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot41=100-164=-64.
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas conjugadas. Calculando as raízes:
r=\frac{10\pm\sqrt{-64}}{2}=\frac{10\pm 8\mathrm{i}}{2}=5\pm 4\mathrm{i}.

Passo 4

Obter as duas soluções fundamentais complexas.
A partir das raízes r_{1}=5+4\mathrm{i} e r_{2}=5-4\mathrm{i} temos duas soluções complexas (fundamentais)
x_{1}(t)=\mathrm{e}^{(5+4\mathrm{i})t},\qquad x_{2}(t)=\mathrm{e}^{(5-4\mathrm{i})t}.
Essas duas são linearmente independentes (são conjugadas) e qualquer combinação linear complexa delas gera a família completa de soluções complexas.

Passo 5

Transformar para soluções reais usando a fórmula de Euler (obter as duas soluções reais).
Como a equação tem coeficientes reais, interessa-nos a solução real geral. Usamos a fórmula de Euler
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta.
Escrevendo uma das exponenciais complexas:
\mathrm{e}^{(5+4\mathrm{i})t}=\mathrm{e}^{5t}\mathrm{e}^{4\mathrm{i}t}=\mathrm{e}^{5t}\big(\cos(4t)+\mathrm{i}\sin(4t)\big).
A combinação linear adequada das duas exponenciais conjugadas resulta em funções reais. As duas soluções reais independentes podem ser escolhidas como
y_{1}(t)=\mathrm{e}^{5t}\cos(4t),\qquad y_{2}(t)=\mathrm{e}^{5t}\sin(4t).
Essas são linearmente independentes; por exemplo, o Wronskiano delas é
W(y_{1},y_{2})(t)= \begin{vmatrix} \mathrm{e}^{5t}\cos(4t) & \mathrm{e}^{5t}\sin(4t)\\[4pt] \mathrm{e}^{5t}(5\cos(4t)-4\sin(4t)) & \mathrm{e}^{5t}(5\sin(4t)+4\cos(4t)) \end{vmatrix} =4\,\mathrm{e}^{10t}\neq0,
portanto são independentes para todo t.]

Passo 6

Escrever a solução geral real da EDO.
Como a equação é linear e homogênea de segunda ordem, a solução geral real é uma combinação linear das duas soluções reais independentes:
x(t)=C_{1}\,\mathrm{e}^{5t}\cos(4t)+C_{2}\,\mathrm{e}^{5t}\sin(4t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais determinadas por condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

x_{1}(t)=\mathrm{e}^{5t}\cos(4t),\; x_{2}(t)=\mathrm{e}^{5t}\sin(4t)
x(t)=C_{1}\,\mathrm{e}^{5t}\cos(4t)+C_{2}\,\mathrm{e}^{5t}\sin(4t)

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